穆爾－彭羅斯廣義逆矩陣
穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣
穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣(Moore-Penrose generalized inverse matrix)是逆矩陣概念的推廣，彭羅斯(R.Penrose)於1995年證明了對任一m×n階矩陣A，都存在惟一的n×m階矩陣X，它滿足：1.AXA=A；2.XAX=X；3.(AX)*=AX；4.(XA)*=XA；則稱X為A的穆爾-廣義逆矩陣，簡稱M-P逆，記為A。當A為n階非異陣時，其逆A也滿足條件1到4，故M-P逆確為通常逆矩陣的推廣。在矛盾線性方程組Ax=b的最小二乘解中，x=Ab是范數最小的的一個解，任意矩陣的廣義逆定義，最早是由穆爾(E.H.Moore)於1920年提出來的，根據實際問題的需要，一些學者還研究了其他各種類型的廣義逆矩陣。
穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣是一種廣義逆矩陣，設A是復矩陣，如果復矩陣G滿足：
1.；
2.；
3.；
4.，
則G稱為A的 穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣。顯然，A與G互為穆爾-彭羅斯廣義逆，任意的復矩陣A有惟一的穆爾-彭羅斯廣義逆，記為。
矩陣A的廣義逆有如下的性質：
1.的秩；
2.；
3.，因此，若A是對稱矩陣，則也是對稱矩陣；
4.，因此，若A是半正定矩陣，則也是半正定矩陣；
5.都是冪等矩陣。
穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣在最小二乘法中有用。
設A為的實矩陣，若的矩陣H滿足下列條件：
那麼，根據正交矩陳的特性：
式中是的矩陣，
其中穆爾-彭羅斯廣義逆是很多廣義逆之一(Ben-Israel和Greville,1974)。也就是說，對當作逆的矩陣H有其它選擇，因而對問題可得不同的近似解。例如，在阻尼最小二乘方法(或脊式回歸)中，矩陣H選為：
該式中F是對角濾波矩陣，其分量為：
式中θ是大大小於最大奇異值的調節參數。
該逆矩陣H的作用是產生估算值 ,與穆爾-彭羅斯廣義逆的解所得的值相比，可能它的沿相應於最小奇異值的奇異矢量分量被阻尼了。可以證明該 是下列問題的解：
對 求極小 (7c)
這樣就代表了在數據擬合和解的大小限制之間的折衷。這種思路也用於非線性最小二乘法，即大家熟知的利文伯格-馬今特法中(Levenberg-Marquardt method ) 。
與一般的逆矩陣不同，即使矩陣是奇異的，穆爾-彭羅斯的廣義逆矩陣總是存在的。在構成這種廣義逆矩陣時，必須小心地處理零奇異值。在式(6)中，僅當時，定義而當時，則定義。這就避免了一般求逆時由帶來的問題。而且，奇異值可幫助理解矩陣的秩和矩陣的條件。
通常矩陣秩定義為最大互不相關的列數，這樣一個定義實際上很難應用於一般矩陣。然而若矩陣是三角形的，秩就是非零對角元素的數目。由於正交變換，比如在奇異值分解中的變換，並不影響秩，立即可以發現A的秩與其奇異值分解中S的秩相等，因此矩陣秩實用的定義是非零奇異值的數目。由於計算機精度有限，可能很難區別一個小奇異值和零奇異值，因而定義有效秩是大於某預定容限的奇異值數。容限反映了機器和數據的精度。
基本信息
- 中文名
- 穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣
- 外文名
- Moore-Penrose generalized inverse matrix
- 所屬學科
- 數學
- 簡介
- 一種廣義逆矩陣
- 所屬問題
- 高等代數(矩陣)