線性積分方程

線性積分方程的一般形式是

其中 是未知函數， ，和 都是已知函數，是常數，變數 和 可取區間內的一切值。稱為積分方程的核，稱為自由項，稱為方程的參數。若 ，則稱該積分方程為齊次積分方程，否則稱為非齊次積分方程。

線性積分方程與數學的其他分支有緊密而重要的聯繫，例如，微分方程、泛函分析、複分析、計算數學、位勢理論和隨機分析等。積分方程論中許多思想和方法，例如，關於第二種弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程的弗雷德霍姆理論和奇異積分方程的諾特(Noether)理論以及逐次逼近方法，本身就是數學中經典而優美的理論和方法之一。

線性積分方程可分為一維弗雷德霍姆積分方程（方程）、n維弗雷德霍姆積分方程、沃爾泰拉積分方程等。其中一維弗雷德霍姆積分方程（方程）又分為三類：

第一類 方程：

第二類 方程：

第三類 方程：

n維弗雷德霍姆積分方程：

式中，D是n維空間中的區域， ，它們的坐標分別是 和。其中，和 是已知函數，是未知函數。關於 方程的解法，一維和n維（）完全類似。

D.希爾伯特和E.施密特對第二種弗雷德霍姆積分方程做了重要的工作，特別是關於對稱核積分方程的特徵值存在性，對稱核關於特徵函數序列的展開，以及希爾伯特 -施密特展開定理等。至於第一種弗雷德霍姆積分方程，早在1828年就為G.格林在研究位勢理論以解決拉普拉斯方程的狄利克雷問題時所導出。

線性積分方程理論的發展，始終與數學物理問題的研究緊密相聯，它在工程、力學等方面有著極其廣泛的應用。通常認為，最早自覺應用線性積分方程並求出解的是阿貝爾(Abel)，他在1823年研究質點力學問題時引出阿貝爾方程。此前，拉普拉斯(Laplace)於1782年在數學物理中研究拉普拉斯變換的逆變換以及傅里葉(Fourier)於1811年研究傅里葉變換的反演問題實際上都是解第一類積分方程。隨著計算技術的發展，作為工程計算的重要基礎之一，線性積分方程進一步得到了廣泛而有效地應用。如今，“物理問題變得越來越複雜，線性積分方程變得越來越有用”。線性積分方程與數學的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、複分析、計算數學、位勢理論和隨機分析等都有著緊密而重要地聯繫。甚至它的形成和發展是很多重要數學思想和概念的最初來源和模型。例如，對泛函分析中平方可積函數、平均收斂、運算元等的形成，對一般線性運算元理論的創立，以至於對整個泛函分析的形成都起著重要的推動作用。線性積分方程論中許多思想和方法，例如，關於第二種弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程的弗雷德霍姆理論和奇異積分方程的諾特(Noether)理論以及逐次逼近方法，本身就是數學中經典而優美的理論和方法之一。