一元二次不等式
含一個未知數且最高次數為2的不等式
一元二次不等式，是指含有一個未知數且未知數的最高次數為2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 、ax²+bx+c≠0、ax²+bx+c<0（a不等於0）。
首先化成一般式，構造函數第二站；判別式值若非負，曲線橫軸有交點；a正開口它向上，大於零則取兩邊；代數式若小於零，解集交點數之間；方程若無實數根，口上大零解為全；小於零將沒有解，開口向下正相反。
形如（或）（其中， ）這樣，只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是2的不等式，稱為關於x 的一元二次不等式。
當時，一元二次方程有兩個不等的實根，那麼可分解為如 的形式。
當時，一元二次方程有兩個相同的實根，那麼可分解為如 的形式。
當 時，一元二次方程 無實根。
這樣，解一元二次不等式就可歸結為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個一元一次不等式組的解集的交集。
舉例：
試解一元二次不等式
然後，分兩種情況討論。
口訣同一元一次不等式的“數軸法”：大大取大，小小取小；大小小大取中間，小小大大沒有解。
1）
得 且（不成立）
2）
得 且。
得最終不等式的解為：
可利用用配方法解一元二次不等式。
如上面例題中，採用配對方法求解如下：
故原不等式 可化為：
於是有：
兩邊同時開平方，得：且
故不等式的解集為
一元二次不等式也可通過一元二次函數圖象進行求解。
通過看圖象可知，二次函數圖象與X軸的兩個交點，然後根據題中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集實際上是將這個一元二次不等式的所有項移到不等式一側並進行因式分解分類討論求出解集。解一元二次不等式，可將一元二次方程不等式轉化成二次函數的形式，求出函數與X軸的交點，將一元二次不等式，二次函數，一元二次方程聯繫起來，並利用圖象法進行解題，使得問題簡化。
方程、不等式和其解集的關係
數軸穿根：用穿根法解高次不等式時，就是先把不等式一端化為零，再對另一端分解因式，並求出它的零點，把這些零點標在數軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方起，依次穿過這些零點，大於零的不等式的解對應這曲線在x 軸上方部分的實數x的值的集合，小於零的則相反。這種方法叫做序軸穿根法，又叫“穿根法”。口訣是“從右到左，從上到下，奇穿偶不穿。”
註：該方法適用於所有的不等式。
步驟：
1）把二次項係數變成正的；
2）畫數軸，在數軸上從小到大依次標出所有根；
3）從右上角開始，一上一下依次穿過不等式的根，奇過偶不過(即遇到含x的項是奇次冪就穿過，偶次冪就跨過)；
4）注意看看題中不等號有沒有等號，沒有的話還要注意舍使用使用不等式為0的根。
舉例：
解不等式：
解：
1）將最高次項係數化為正，這裡本就是正的，便無需轉化；
2）分解因式，得：；
3）找方程的根：或；
3）畫數軸，並把根所在的點標上去；
4）注意，此時從最右端開始，從2的右上方引出一條曲線，經過點2，繼續向左繪製，類似於拋物線，再經過點1，向點1的左上方無限延伸；
5）題中要求 的解，那麼只需在數軸上觀察哪一段在數軸及數軸以下即可，觀察可以得到： 。
註：高次不等式亦如此，例如一個分解因式后所得之不等式：
先找方程 的根：
在數軸上依次標出這些點。還是從最右邊的一點3的右上方引出一條曲線，經過點3，在1、3之間類似於一個開口向上的拋物線，經過點1；繼續向點1的左上方延伸，這條曲線在點0、1之間類似於一條開口向下的曲線，經過點0；繼續向0的左下方延伸，在0、-2之間類似於一條開口向上的拋物線，經過點-2；繼續向點-2的左上方無限延伸。
由於方程中要求的是>0，只需觀察曲線在數軸上方的部分所取的x的範圍即可，故為：或或。
該方法需注意的是：
1）遇到根是分數或無理數和遇到整數時的處理方法是一樣的，都是在數軸上把這個根的位置標出來；
2）“奇過偶不過”中的“奇、偶”指的是分解因式后。某個因數的指數是奇數或者偶數；比如不等式，的指數是2，是偶數，所以在數軸上畫曲線時就不穿過2這個點；而的指數是1，是奇數，所以在數軸上畫曲線時就要穿過3這個點。
3）分子中一定都是能夠因式分解成一次式的因式，否則不能用此方法。
1)當時：
判別式 時，有兩個不相等的根（設 )。二次函數圖象的開口向上，拋物線與x軸有兩個交點，所以不等式 的解是：或。
判別式 時，因為a>0，二次函數圖象拋物線的開口向上，拋物線與x軸有一個交點，則，所以不等式 的解是 的全體實數，而不等式 的解集是空集。
判別式 時，拋物線在x軸的上方與x軸沒有交點，所以不等式 的解集是全體實數，而不等式 的解集是空集，即無解。
2)當 時：
判別式 時，有兩個不相等的根（設）。二次函數圖象的開口向下，拋物線與x軸有兩個交點，所以不等式解釋是：
判別式 時，因為，二次函數圖象拋物線的開口向下，拋物線與X軸有一個交點，則，所以不等式解解釋是 的全體實數不是不是不是等式 的解集是空集。
判別式 時，拋物線在x軸的下方與x軸沒有交點，所以不等式 的解集是全體實數，而不等式 的解是空集，即無解。
