多元多項式
一元多項式的推廣
多元多項式(polynomial of several variables )是一元多項式的推廣，它是多項式理論研究的重要對象。有限多個單項式之和(假設其中不含同類項)稱為n元多項式，簡稱多項式，n元多項式f中非零單項式的最高次數稱為多項式f的次數，記為 deg f。只含零單項式的多項式稱為零多項式，記為0，零多項式的次數規定為－∞。
設K是一個數域，是幾個文字(也可稱為變數)，是非負整數， ，稱
為一個單項式(monomial)。某個指數 表示變數 不出現，當所有的指數全部等於0時，相應的單項式就是常數項，,稱為此單項式的係數，當 時，稱為此單項式的次數，係數為0的單項式稱為零單項式，簡記為0，零單項式的次數規定為，為了表示方便，常常把單項式(1)中各個字母的方冪看成一個n維向量
稱為這個單項式的指數向量。並把單項式(1)簡記為，又把向量 的分量之和表為，於是有(假設 )
如果滿足 就被稱為同類項，也就是說，與 是同類項當且僅當它們的指數向量相等，即。
有限多個單項式之和(假設其中不含同類項)
稱為n元多項式，簡稱多項式，n 元多項式 中非零單項式的最高次數稱為多項式 的次數，記為。只含零單項式的多項式稱為零多項式，記為0，零多項式的次數規定為，例如若
則。
有很多時候需要把多元多項式看成其中某一個變數，例如 的一元多項式
這裡的係數 都是多項式環 中的元素，我們把 作為某個變數 的一元多項式的次數稱為 關於 的次數，記為。
和一元多項式一樣，對於n元多項式也可同樣地定義相等、相加、相減和相乘，例如當兩個單項式是同類項時，可以通過係數相加而合併成一項：
兩個單項式相乘則是把指數向量相加，再把係數相乘:
n元多項式的加法和乘法具有與一元多項式相同的性質，因此把數域K上所有以 為變數的n元多項式的集合記為
並稱為數域K上的n元多項式環。
現在我們要研究單項式的排序問題，對於一元多項式，按各個項的次數來排列是最自然的，但是對於多元多項式，有相同次數的項不止一個，單按次數排列具有不確定性，所以有必要採用字典排列法。為此首先在指數向量的集合內定義一個序：對於，如果存在 使得
則稱 優於，記為，例如
從這個定義立即可以看出，對於任意兩個不相等的指數向量，不是 就是，兩者必居其一。而且關係“ ”還具有傳遞性，即從 可以得出，這說明“ ”確實是指數向量集合的一個序，利用指數向量的序就可以定義單項式的序，即
我們把這個序(包括指數向量的序以及單項式的序)稱為字典序(lexicographicorder)。這樣就可以把多項式中的項按字典序排列，當時這種排列法就是降冪排列法，多項式中按字典排列法次序最前的非零項稱為此多項式的首項。
字典排列法的首項有以下性質。
兩個非零多項式的乘積的首項等於這兩個多項式的首項的乘積。
證明：設這兩個多項式是，它們的乘積是 ．設 的首項分別為
它們的乘積等於
乘積多項式h中的任意單項式的指數向量具有 的形式，其中分別是 中的單項式的指數向量，因此有
我們要證，並且等號成立當且僅當。首先設 若，則一定存在使得
於是
即。同理當 時有 因此
而且只要 或 有一個成立，就有 這說明(2)式確是h的首項而且h中沒有同類項會和它相消。
兩個非零多項式的乘積仍是非零多項式。
基本信息
- 所屬學科
- 數學