微分對策

微分對策的最優策略所應滿足的必要條件，可象最優控制理論中的極大值原理那樣導出。微分對策實質上是一種雙（多）方的最優控制問題，而通常的最優控制問題可看成是單人微分對策。微分對策還可推廣到由差分方程描述的離散時間動態系統，因而常常更廣義地稱為動態對策。微分對策的研究始於20世紀40年代。R.艾薩克斯在1965年對完全對抗的二人零和對策問題的研究，奠定了微分對策理論的基礎。微分對策已應用于軍事、公安、工業控制、航天航空、環境保護、海洋捕撈、經濟管理和市場競爭等方面。微分對策所提供的數學模型還可能應用於更多的方面。例如，在微分對策中，應用突變論的概念可導致對不連續性和奇異性進行分類研究。此外，還可探討當約束條件、控制策略或合作關係處於模糊情況時（見模糊控制）的微分對策問題。在對策問題中，決策人都以對方的行為模型作為自己決策的依據，因此微分對策的研究與心理學、人工智慧、行為科學等學科都有密切的關係。

構成要素和分類 構成各類微分對策的要素可歸結為：①參與對策的各方（決策人）具有不同的利益。②決策人根據自己擁有的信息作決策。③按照對策規則，決策人的地位可能不同。④對策的結局由諸決策人的控制作用共同決定。對應這些要素的不同情況，可將微分對策作各種形式的分類。按照對策人的數目分類，如n人微分對策，n可取為2、3、…。按照結局分類，如結局的得失在連續範圍內變化的問題稱定量（程度）微分對策，結局取“贏”或“輸”二者居一的問題稱定性（種類）微分對策。也可按照決策人利益的性質分類，如決策人的利益為對抗時稱零和微分對策(即各方得失總和為零)，決策人有競爭又有合作時稱非零和微分對策（如上下級之間，共同壟斷同一市場的幾個公司之間）。按照決策人間合作程度，又有組隊最優、納什平衡、帕雷托最優和協商策略等多種形式。在上下級多人決策問題中，通常要求上級決策人先宣布自己的策略，下級按照自身利益作出響應。這種策略如能使下級的行動符合上級的目標，這類微分對策便稱為上下級對策（斯塔克爾貝格對策）或激勵對策。此外，依對策問題中動態系統類型，還有偏微分對策（動態系統用偏微分方程描述）和隨機微分對策（存在隨機的干擾或觀測誤差的微分對策）。在微分對策中，決策人擁有信息的多寡，對決策的自由度和結局的優劣有明顯的影響。定量地分析這些影響，並對用於信息採集和傳輸（或破壞對方的採集與傳輸）的費用與可能取得的收益進行權衡的問題，稱為信息分配和信息結構問題。

二人零和微分對策 這是研究最多和應用較廣的一種微分對策，其動態過程可用以下狀態方程（見狀態空間法）描述：

式中各個變數的含義可用追躲問題為例來說明。狀態變數 x及其導數凧 表示追方和躲方間的相對位置和相對速度等；u為追方的控制作用，v為躲方的控制作用，它們共同決定x的變化；t表示時間。再用性能指標

描寫追擊的總效果，它可能是脫靶量、命中時間等。式中T是對策終止時間，它由反映結局（例如擊中）的條件Ψ【x(T)】=0來確定。二人零和微分對策問題的求解，按提法的不同有兩種情況。

①在定量微分對策的提法中，追方選擇u使J盡量小，而躲方選擇v使J盡量大，因此問題的解u*、v*應滿足

J(u*,v)≤J(u*,v*)≤J(u，v*)

這樣的(u*,v*)稱為鞍點策略。在一定條件下，最優控制理論中的極大值原理可推廣應用於這類問題。這種“雙方極值原理”指出了鞍點策略應滿足的必要條件：

式中u*(t)，v*(t)對於一切t∈【t0,T】均滿足以上條件，分別表示對v取極大值與對u取極小值，而哈密頓函數規定為

其中λi(t)為協態變數，它滿足伴隨方程

和邊界條件

微分對策

這裡μ 為正值常數乘子。各式中的x(t)是與鞍點策略(u*,v*)相對應的最優軌線。在應用雙方極值原理來解決具體的微分對策問題時，除了最優控制理論中所遇到的共同性難點（如解兩點邊值問題）以外，還會由於min和max運算而引入許多間斷性、奇異曲面等問題。奇異曲面的研究非常重要，它關係到問題的求解是否完整。在微分對策中可以出現一些具有新性質的奇異曲面，它們比單方最優控制問題中的奇異曲面要複雜得多。對於奇異曲面，尚未建立起系統的理論和計算方法。

②在定性微分對策的提法中，只考慮某種結局能否實現的問題（如擊中或捕獲），可用x(t)能否達到目標集Ψ(x)≤0來描述。追方選擇u(t)力圖實現此目標，而躲方選擇v(t)力圖避免此目標。若雙方控制能力具有一定均勢，則x處於某一區域內時可以捕獲而在另一區域時能夠逃逸。這兩個區域稱為捕獲區和逃逸區，它們的分界面稱為界柵（或壁壘）。微分對策為追逃問題提供了在競爭環境中較為深刻實用的數學模型。在空空導彈的設計中，最優控制和微分對策都被應用於制導規律的研究。微分對策對目標加速度估值誤差不敏感，比最優控制更適用於設計攔截機動目標的導彈。

參考書目

R.Isaacs，Differential Games，Wiley，New York,1965.

T.Basar and G.J.Olsder, Dynamic Non-cooperative Game Theory, Academic Press, New York, 1982.