公理

經由可靠的論證（三段論、推理規則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發展出來的，並已成為了現代數學的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為定理）則都必須藉助這些基本假設才能被證明。然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終“公理”這一詞對今日的數學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。

古希臘人認為幾何學也是數種科學的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發展並使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，並以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的後分析篇是對此傳統觀點的一決定性的闡述。

“公理”，以傳統的術語來說，是指在許多科學分支中所共有的一個不證自明的假設。

在各種科學領域的基礎中，或許會有某些未經證明而被接受的附加假定，此類假定稱為“公設”。公理是許多科學分支所共有的，而各個科學分支中的公設則是不同的。公設的有效性必須建立在現實世界的經驗上。確實，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設的真實性，這門科學之內容便無法成功傳遞。

傳統的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來，其中給定一些公設（從人們的經驗中總結出的幾何常識事實），以及一些“公理”（極基本、不證自明的斷言）。

● 公設

● ● 能從任一點畫一條直線到另外任一點上去。

● ● 能在一條直線上造出一條連續的有限長線段。

● ● 能以圓心和半徑來描述一個圓。

● ● 每個直角都會相互等值。

● ● （平行公設）若一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩個直角，那麼這兩條直線在各自不斷地延伸后，會在內角和小於兩直角的一側相交。

● 公理

● ● 等同於相同事物的事物會相互等同

● ● 若等同物加上等同物，則整體會相等。

● ● 若等同物減去等同物，則其差會相等。

● ● 相互重合的事物會相互等同。

● ● 整體大於部分。

近150年來，數學家所學到的是，將意思從數學陳述（公理、公設、命題、定理）和定義中抽離出去是很有用的。此一抽象化（或甚至可說是公式化）使得數學知識變得更一般化，容許多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。

結構主義的數學走得更遠，並發展出沒有“任一”特定應用的理論和公理（如體論、群論、拓撲學、向量空間）。“公理”和“公設”之間的差異消失了。歐幾里得公設因為可以導出大量的幾何事實而被創造出來。這些複雜事實的真實性依賴於對基本假定的承認。然而，若捨棄第五公設，則可以得到有更多內容的理論，如雙曲幾何。我們只需要準備以更彈性的方式來使用“線”和“平行”等術語。雙曲幾何的發展教導了數學家們公設應該被視為單純的形式陳述，而不是基於經驗的事實。

當數學家使用體的公理時，其含義甚至變得更加地抽象了。體論的命題沒有關注於任一特定的應用上；數學家現在於完全的抽象化上工作著。體有許多的例子；而體論可以給出對所有這些例子適用的正確知識。

說體論的公理是“被視為不證自明的命題”是不正確的。實際上，體的公理是一套局限。若任一給定的加法與乘法系統符合此些局限，則我們對此系統立即可以得到許多額外的資訊。

現代數學家也對數學基礎作了相當程度的形式化，從而使得數學理論可以被視為數學物件，且邏輯本身亦能被視為是數學的一個分支。戈特洛布·弗雷格、伯特蘭·羅素、龐加萊、大衛·希爾伯特和庫爾特·哥德爾是此發展中的幾位關鍵角色。

在現今的理解里，一套公理是任何一群形式陳述的斷言，而透過應用某些定義良好的規則，可由這些公理推導出其他形式陳述的斷言。在此觀點下，邏輯只是變成了另一個形式系統。一套公理應該是相容的，即應該不可能由此公理中導出矛盾來。一套公理亦應該是非冗餘的，即一個可以由其他公理導出的斷言不應被視為是一個公理。

近代的邏輯學家最初希望數學的不同分支，最好是所有的數學，都可以被一套相容的基本公理中推導出來。數學形式主義的一個早期成功的例子為希爾伯特對歐幾里得幾何的公式化，以及相關地，對此些公理相容性的確定。

在更廣的方面來看，還有人企圖將所有數學放在康托爾的集合論之下。不過，羅素悖論的出現和樸素集合論中相似的矛盾，指出任何此類的形式系統最終都有可能是不相容的。

此計劃遭受到的決定性挫敗是在1931年，哥德爾證明出只要一個相容的形式系統能夠蘊涵皮亞諾公理，就可以在系統內建構出一個其真實性和此套公理獨立的陳述。作為一個推論，哥德爾證明出一個如皮亞諾算術的理論，其相容性在理論本身之內會是一個不可證的斷言。

相信皮亞諾算術的相容性是合理的，因為它被自然數的系統所滿足－一個無限但在直覺上易被接受的形式系統。然而，直到現在，依然沒有已知的方法判定集合論中策梅羅-弗蘭克爾公理的相容性。選擇公理－此理論的關鍵假定，也依然是一個極具爭議的假設。更甚之，利用力迫法的技巧，可以證明連續統假設獨立於策梅羅-弗蘭克爾公理之外。因此，即使是這種極一般的公理也還不能被視為是數學的決定性基礎。

(1) [axiom]∶依據人類理性和願望發展起來而共同遵從的道理。

世界有強權，沒有公理啊!

(2) [self-evident truth;generally acknowledged truth]∶經過人類長期反覆實踐的考驗，不需要再加證明的命題(如數字中的)。

1.社會上公認的正確道理。《三國志·吳志·張溫傳》：“競言 艷 及選曹郎 徐彪，專用私情，愛憎不由公理。”清 姚鼐 《禮箋序》：“經之說有不得悉窮。古人不能無待於今，今人亦不能無待於後世。此萬世公理也。”葉聖陶 《倪煥之》十九：“世界有強權，沒有公理啊！”

2.在一個系統中已為實踐所反覆證明而被認為無須再證明的真理。如“等量加等量其和相等”，就是公理。

公理系統（axiomatic system）就是把一個科學理論公理化，用公理方法研究它，每一科學理論都是由一系列的概念和命題組成的體系。公理化的實現就是：①從其諸多概念中挑選出一組初始概念，該理論中的其餘概念，都由初始概念通過定義引入，稱為導出概念；②從其一系列命題中挑選出一組公理，而其餘的命題，都應用邏輯規則從公理推演出來，稱為定理。應用邏輯規則從公理推演定理的過程稱為一個證明，每一定理都是經由證明而予以肯定的。由初始概念、導出概念、公理以及定理構成的演繹體系，稱為公理系統。初始概念和公理是公理系統的出發點。

公理系統相應地區分為古典公理系統、現代公理系統或稱形式公理系統。最有代表性的古典公理系統是古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》一書中建立的。第一個現代公理系統是D.希爾伯特於1899年提出的。他在《幾何基礎》一書中，不僅建立了歐幾里得幾何的形式公理系統，而且也解決了公理方法的一些邏輯理論問題。

例如歐幾里德《幾何原本》中就規定了五條公理和五條公設（以現代觀點來看，公設也是公理），平面幾何中的一切定理都可由這些公理和公設推導而得。

公理系統要滿足某些一般要求，包括系統的一致性（無矛盾性）、完全性，以及公理的獨立性。其中一致性是最重要的，其他幾個性質則不是每個公理系統都能滿足的，或可以不必一定要求的。

由於公理系統可以建造一個完整的、無矛盾、滿足一致性的理論體系，所以幾乎所有的數學領域甚至一些數學以外的科學領域也採用了公理化體系來構造他們的理論系統。如現代得到多數人認可的大爆炸理論，就是基於這種認識。

在數學中，所有的定理都必須給予嚴格的證明，但公理卻是無需證明的。因為數學公理是在基本事實或自由構造的基礎上為了研究方便人為設定的。有些是一般性的東西，人類仍無法用現有理論推導，如1+1=2。

一個公理體系中的名詞是預先已經定義的概念，這樣的公理系統就是實質公理系統。如歐幾里德幾何公理系統。因為要先定義概念，所以就要有一些初始的概念作為定義其他概念的出發點，如歐氏幾何中使用的“部分”、“長度”、“寬度”、“界限”以及“同樣的位置”等。

（a）傳統形式邏輯三段論由一類事物的不證自明的全稱判斷作為前提，可以推斷這類事物中部分判斷為真，那麼這個全稱判斷就是公理。如“有生必有死”，就屬於這種判斷。

（b）在歐幾里得幾何系統中，下面所述的是幾何系統中的部分公理：

① 等於同量的量彼此相等。

②等量加等量，其和相等。

③ 等量減等量，其差相等。

④ 彼此能重合的物體是全等的。

以下是常用的等量公理的代數表達：

①如果a=b，那麼a+c=b+c。

②如果a=b，那麼a－c=b－c。

③如果a=b，且c≠0，那麼ac=bc。

④如果a=b，且c≠0，那麼a/c=b/c。

⑤如果a=b，b=c，那麼a=c。

公理集合論（axiomatic set theory）是數理邏輯的主要分支之一。是用公理化方法重建（樸素）集合論的研究以及集合論的元數學和集合論的新的公理的研究。1908年，E.策梅洛首開先河，提出了第一個集合論公理系統，旨在克服集合論中出現的悖論。20世紀20年代，A.弗倫克爾和A.斯科朗對此予以改進和補充，從而得到常用的策梅洛—弗倫克爾公理系統，簡記為ZF。ZF是一個形式系統，建立在有等詞和關係符號“∈”（與樸素集合論中的屬於關係相對應）的一階謂詞演算之上。它的非邏輯公理有：外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、無窮公理、分離（子集）公理模式、替換公理模式、正則（基礎）公理。如果另加選擇公理（AC），則所得到的公理系統簡記為ZFC。現已證明：ZF對於發展集合論是足夠的，它能避免已知的集論悖論，並在數學基礎的研究中提供了一種較為方便的語言工具。但是由哥德爾不完備性定理可知，ZF是不完備的。由哥德爾第二不完備性定理可知，如此豐富的集合論公理系統，如果是協調的，那麼在其內部也是無法證明的，而須藉助於更強的公理才能證明。

由於幾乎全部數學都可歸約為集合論，所以ZF系統的一致性一直是集合論中至關重要的問題。但根據哥德爾的不完全性定理，卻無法在ZF系統內證明自身的一致性。此外，一些重要的命題，如連續統假設也是在ZF中不可判定的。尋找這些不可判定問題並證明其不可判定性和擴充ZF，以期在擴充后的系統中判定這些命題，就成了公理集合論研究的兩個出發點。1963年，美國學者P.科恩創立力迫法，從而證明了集合論中的一大批獨立性問題。

概括地說，幾何學的公理化方法是從少數初始概念和公理出發，遵遁邏輯原則建立幾何學演繹體系的方法。用公理化方法建立的數學學科體系一般是由以下四個部分組成：

①初始概念的列舉。

②定義的敘述。

③公理的列舉。

④定理敘述和證明。

這四個組成部分不是獨立地敘述和展開，而是相互交織、相互滲透、相互依賴地按照邏輯原則演繹。一般說來，用公理化方法建立的幾何學演繹體系總是由抽象內容和邏輯結構構成的統一體。決定幾何體系的基礎是初始概念和公理，不同的公理基礎決定不同的幾何體系，例如歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、拓撲學等。

幾何體系的邏輯結構，主要取決於公理提出的先後次序，同一種幾何體系由於公理系統的編排次序不同，可以產生不同的邏輯結構．例如，中學幾何中的“外角定理”和三角形全等（合同）的“角角邊定理”是在平行公理之後提出的，因此可根據平行公理的推論“三角形內角和等於二直角”很容易給予證明。但在希爾伯特所建立的歐氏幾何的體系中，由於這兩個定理是在平行公理之前提出的，就不允許使用“三角形內角和”定理。即同一歐氏幾何可有多種邏輯結構，一個幾何命題的證法不是通用的，它在一種邏輯結構中適用，而在另一種邏輯結構中可能不適用。

早期的數學家視公理化幾何為物理空間的模型，且明顯地只能有此一模型。另一種數學系統可能存在的想法，對19世紀的數學家而言是極度困擾的，並費盡苦心地想要將這些系統從傳統算術中推導出來。伽羅瓦證明這些努力大多都是白費的。最後，這些在代數系統中相互平行的抽象系統看起來似乎有其重要性，而現代代數也由此誕生了。以現在的觀點來看，任意的公式集合都可以作為公理，只要這些公式並未被發現為不一致的便可。