楊輝

楊輝一生留下了大量的著述，他著名的數學書共五種二十一卷，它們是：《詳解九章演演算法》12卷(1261年)，《日用演演算法》2卷(1262年)，《乘除通變本末》3卷(1274年，第3卷與他人合編)，《田畝比類乘除捷法》2卷(1275年)，《續古摘奇演演算法》2卷(1275年，與他人合編)，其中后三種為楊輝後期所著，一般稱之為《楊輝演演算法》。

《詳解九章演演算法》現傳本已非全帙，編排也有錯亂。從其序言可知，該書乃取魏劉微注、唐李淳風等註釋、北宋賈憲細草的《九章算術》中的80問進行詳解。在《九章算術》9卷的基礎上，又增加了3卷，一卷是圖，一卷是講乘除演演算法的，居九章之前；一卷是纂類，居書末今卷首圖、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰諸題、卷6商功的諸同功問題已佚。卷4衰分下半卷、卷5少廣存《永樂大典》殘卷中，其餘存《宜稼堂叢書》中。從殘本的體例看，該書對《九章算術》的詳解可分為：一、解題。內容為解釋名詞術語、題目含義、文字校勘以及對題目的評論等方面。二、明法、草。在編排上，楊輝採用大字將賈憲的法、草與自己的詳解明確區分出來。三、比類。選取與《九章算術》中題目演演算法相同或類似的問題作對照分析。四、續釋注。在前人基礎上，對《九章算術》中的80問進一步作註釋。楊輝的“纂類”，突破《九章算術》的分類格局，按照解法的性質，重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。

楊輝在《詳解九章演演算法》一書中還畫了一張表示二項式展開后的係數構成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”。

楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如下：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

.....................................

楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。

《日用演演算法》，原書不傳，僅有幾個題目留傳下來。從《演演算法雜錄》所引楊輝自序可知該書內容梗概：“以乘除加減為法，秤斗尺田為問，編詩括十三首，立圖草六十六問。用法必載源流，命題須責實有，分上下卷。”該書無疑是一本通俗的實用算書。

《乘除通變本末》三卷，皆各有題，在總結民間對等算乘除法的改進上作出了重大貢獻。上卷叫《演演算法通變本末》，首先提出“習算綱目”，是數學教育史的重要文獻，又論乘除演演算法；中卷叫《乘除通變算寶》，論以加減代乘除、求一、九歸諸術；下卷叫《法算取用本末》，是對中卷的註解。

《田畝比類乘除捷法》，其上卷內容是《詳解九章演演算法》方田章的延展，所選例子非常貼近實際。下卷主要是對劉益工作的引述。楊輝在《田畝比類乘除捷法》序中稱“中山劉先生作《議古根源》。……撰成直田演段百間，信知田體變化無窮，引用帶從開方正負損益之法，前古之所未聞也。作術逾遠，罔究本源，非探噴索隱而莫能知之。輝擇可作關鍵題問者重為詳悉著述，推廣劉君垂訓之意。”《田畝比類乘除捷法》卷下徵引了《議古根源》22個問題，主要是二次方程和四次方程的解法。

《續古摘奇演演算法》上卷首先列出20個縱橫圖，即幻方。其中第一個為河圖，第二個為洛書，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各兩個，九行、十行幻方各一個，最後有“聚五”“聚六”：聚八”“攢九”“八陣”“連環”等圖。有一些圖有文字說明，但每一個圖都有構造方法，使圖中各自然數“多寡相資，鄰壁相兼”湊成相等的和數。卷下評說《海島》也有極高的科學價值。

楊輝著作大都注意應用算術，淺近易曉。其著作還廣泛徵引數學典籍和當時的算書，中國古代數學的一些傑出成果，比如劉益的“正負開方術”，賈憲的“開方作法本源圖”“增乘開方法，”幸得楊輝引用，否則，今天將不復為我們知曉。

楊輝的數學研究與數學教育工作之重點在於改進籌算乘除計算技術，總結各種乘除捷演演算法，這是由當時的社會狀況決定的。唐代中期以後，社會經濟得到較大發展，手工業和商業交易都具有相當的規模，因而，人們在生產、生活中需要數學計算的機會，較前大大增加，這種情況迫切要求數學家們為人們提供便於掌握、快捷準確的計算方法。為適應社會對數學的這種需求，中晚唐時期出現了一些實用的算術書籍。但是，這些書籍除了《韓延算術》，被宋人誤認為《夏侯陽算經》而坎坷流傳到現在外，其餘都已失傳。《韓延算術》大約編寫於公元770年前後，書中介紹了很多乘除捷演演算法的例子。比如，某數乘以42可以化為某數乘以6，再乘以7；某數除以12可以化為某數除以2，再除以6。對於更複雜的問題可同樣處理。通過將乘數、除數分解為一位數，可以使運算在一行內實現，簡化了運算，提高了速度。韓延還介紹了其他一些簡捷演演算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北宋科學家沈括也總結了增成、重因等捷演演算法。

楊輝生活在南宋商業發達的蘇杭一帶，進一步發展了乘除捷演演算法。他說：“乘除者本鉤深致遠之法。《指南演演算法》以‘加減’、‘九歸’、‘求一’旁求捷徑，學者豈容不曉，宜兼而用之。”在前人的基礎上，他提出了“相乘六法”：一曰“單因”，即乘數為一位數的乘法；二曰“重因“，即乘數可分解為兩個一位數的乘積的乘法；三曰“身前因”，即乘數末位為一的兩位數乘法，比如257×21=257×20十257，實際上，身前因就是通過乘法分配律將多位數乘法化為一位數乘法和加法來完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘數可分解為兩因數的積，作兩次相乘；六曰“損乘”，是一種以減代乘法，比如，當乘數為9、8、7時，可以10倍被乘數中，減去被乘數的—、二、三倍。楊輝還進一步發展了唐宋相傳的求一演演算法，總結出了“乘算加法五術”、“除算減法四術”。求一實際上就是通過倍、折、因將乘除數首位化為一，從而用加減代乘除。楊輝的“乘算加算加法五術”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“連身加”。乘數為11至19的，用加一位；乘數為l0l至199的，用加二位法；乘數可分為兩因數的積，且可用加一或加二時，稱為重加；乘數為101至l09時，用隔位加；乘數為21至29、20l至299時，用連身加。例如，342×56的計算，用現代符號寫出，便是：342×56=342×112十2=(34200十342×l2)十2=(34200十3420十342×2)十2。其“除算減法四木”即“減一位”、“減二位”、“重減”、“減隔位”，用法與乘算加法類似。

北宋初年出現的一種除法——增成法，在楊輝那裡得到進一步的完善。增成法的優點在於用加倍補數的辦法避免了試商，但對於位數較多的被除數，運算比較繁複，後人改進了它，總結出了“九歸古括”，包含44句口訣。楊輝在其《乘除通變算寶》中引《九歸新括》口訣32句，分為“歸數求成十”、“歸數自上加”，“半而為五計”三類。

客觀上講，楊輝不遺餘力改進計算技術，大大加快了運算工具改革的步伐。隨著籌算歌訣的盛行，運算速度大大加快，以至人們感覺到擺弄算籌跟不上口訣。在這樣的背景下，算盤便應運而生了，及至元末，已經廣為流行。

縱橫圖，即所謂的幻方。早在漢鄭玄《易緯注》及《數術記遺》都記載有“九宮”即三階幻方，千百年來一直被人披上神秘的色彩。楊輝創“縱橫圖”之名。在所著《續古摘奇演演算法》上卷作出了多種多樣的圖形。圖ll是四階縱橫圖；圖12是百子圖，即十階縱橫圖。其每行每列數之和為50—5(對角線數字之和不是505)；圖13是“聚八”圖，楊輝按“二十四子作三十二子用”設子的這種幻方共有四圈，每圈數字之和為100；圖14是“攢九”圖，用前33個自然數排列，達到“斜直周圍各一百四十七”的效果。楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構造規律有所認識，打破了幻方的神秘性。這是世界上對幻方最早的系統研究和記錄。自楊輝以後，明清兩代中算家關於縱橫圖的研究相繼不斷。

楊輝的另一重要成果是垛積術。這是楊輝繼沈括“隙積術”之後，關於高階等差級數求和的研究。在《詳解九章演演算法》和《演演算法通變本末》中記敘了若干二階等差級數求和公式，其中除有一個即沈括的當童垛外，還有三角垛、四隅垛、方垛三式，用現今的記號表示就相當於下面三式：

上述三式可由沈括之芻童公式推出。

對數學重新分類也是楊輝的重要數學工作之一。楊輝在詳解《九章算術》的基礎上，專門增加了一卷“纂類”，將《九章》的方法和246個問題按其方法的性質重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。

楊輝不僅 是一位著述甚豐的數學家，而且還是一位傑出的數學教育家。他一生致力於數學教育和數學普及，其著述有很多是為了數學教育和普及而寫。《演演算法通變本末》中載有楊輝專門為初學者制訂的“習算綱目”，它集中體現了楊輝的數學教育思想和方法。

說起楊輝的這一成就，還得從偶然的一件小事說起。

一天，台州府的地方官楊輝出外巡遊，路上，前面銅鑼開道，後面衙役殿後；中間，大轎抬起，好不威風。

迷人的春天慷慨地散布著芳香的氣息，帶來了生活的歡樂和幸福。杜鵑隱藏在芒果樹的枝頭。用它那圓潤、甜蜜、動人心弦的鳴囀來喚醒人們的希望。

成群的畫眉鳥像迎親似的蹲在樹的枝丫上，發出婉麗的啼聲。楝樹、花梨樹和栗樹都彷彿被自身的芬芳熏醉了。

楊輝撩起轎簾，看那雜花生樹，飛鳥穿林，真乃春色怡人淡復濃，喚侶黃鸝弄曉風。更是一年好景，旖旎風光。

走著、走著，只見開道的鏜鑼停了下來，前面傳來孩童的大聲喊叫聲，接著是衙役惡狠狠的訓斥聲。楊輝忙問怎麼回事，差人來報：“孩童不讓過，說等他把題目算完后才讓走，要不就繞道。”

楊輝一看來了興趣，連忙下轎抬步，來到前面。衙役急忙說：“是不是把這孩童哄走？”

楊輝摸著孩童頭說：“為何不讓本官從此處經過？”

孩童答道：“不是不讓經過，我是怕你們把我的算式踩掉，我又想不起來了。”

“什麼算式？”

“就是 把1到9的數字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結果都是等於15。我們先生讓下午一定要把這道題做好。我正算到關鍵之處。”

楊輝連忙蹲下身，仔細地看那孩童的算式，覺得這個數字，從哪見過，仔細一想，原來是西漢學者戴德編纂的《大戴禮》書中所寫的文章中提及的。

楊輝和孩童倆人連忙一起算了起來，直到天已過午，倆人才舒了一口氣，結果出來了，他們又驗算了一下，覺得結果全是15，這才站了起來。我們把算式擺出來：

（在左邊的方塊中，無論你橫、豎、斜著加結果都是15。請試一下）

孩童望著這位慈祥和善的地方官說：“耽擱你的時間了，到我家吃飯吧！”

楊輝一聽，說：“好，好，下午我也去見見你先生。”

孩童望著楊輝，淚眼汪汪，楊輝心想，這裡肯定有什麼蹊蹺，溫和地問道：“到底是怎麼回事？”

孩童這才一五一十把原因道出：原來這孩童並未上學，家中窮得連飯都吃不飽，哪有錢讀書。而這孩童給地主家放牛，每到學生上學時，他就偷偷地躲在學生的窗下偷聽，今天上午先生出了這道題，這孩童用心自學，終於把它解決了。

楊輝聽到此，感動萬分，一個小小的孩童，竟有這番苦心，實在不易。便對孩童說：“這是10兩銀子，你拿回家去吧。下午你到學校去，我在那兒等你。”

下午，楊輝帶著孩童找到先生，把這孩童的情況向先生說了一遍，又掏出銀兩，給孩童補了名額，孩童一家感激不盡。自此，這孩童方才有了真正的先生。

教書先生對楊輝的清廉為人非常敬佩，於是倆人談論起數學。楊輝說道：“方才我和孩童做的那道題好像是《大戴禮》書中的？”

那先生笑著說：“是啊，《大戴禮》雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一定的數學知識。方才你說的題目，就是我給孩子們出的數學遊戲題。”

教書先生看到楊輝疑惑的神情，又說道：“南北朝的甄鸞在《數術記遺》一書中就寫過：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”

楊輝默念一遍，發現他說的正與上午他和孩童擺的數字一樣，便問道：“你可知道這個九宮圖是如何造出來的？”

教書先生也不知出處。楊輝回到家中，反覆琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數字，終於發現一條規律。

他把這條規律總結成四句話：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。就是說：一開始將九個數字從大到小斜排三行，然後將9和1對換，左邊7和右邊3對換，最後將位於四角的4、2、6、8分別向外移動，排成縱橫三行，就構成了九宮圖。

下面我們演示一下：

（九子斜排）（上下對易，左右相更）（四維挺出）

按照類似的規律，楊輝又得到了“花16圖”，就是從1到16的數字排列在四行四列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行四數之和均為34。讀者諸君，不妨一試。

後來，楊輝又將散見於前人著作和流傳於民間的有關這類問題加以整理，得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數圖”、“易數圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。

楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，並於1275年寫進自己的數學著作《續古摘奇演演算法》一書中，併流傳後世。

縱橫圖，也叫幻方，它要求把從1到n2個連續的自然數安置在n2個格子 理。

但長期以來，人們習慣於把它當作純粹的數學遊戲，沒有給予應有重視。隨著近代組合數學的發展，縱橫圖顯示了越來越強大的生命力，在圖論、組合分析、對策論、計算機科學等領域中，找到了用武之地。

楊輝可以說是世界上第一個給出了如此豐富的縱橫圖和討論了其構成規律的數學家。

楊輝除此成就之外，還有一項重大貢獻，就是“楊輝三角”。

有一次，楊輝得到一本《黃帝九章演演算法細草》，這是北宋數家賈憲寫的。這裡面有不少了不起的成就，如賈憲描畫了一張圖，叫作“開方作法本源圖”。

圖中的數字排列成一個大三角形，位於兩腰上的數字均是1，其餘數字則等於它上面兩數字之和。

從第二行開始，這個大三角形的每行數字，都對應於一組二項展開式的係數，下面試舉例說明：在第三行中，1、3、3、1，這4個數字恰好是對應於（X+1）3=X3+3X2+3X+1；

再如第四行對應於（X+1）4=X4+4X3+6X2+4X+1。以此類推。

楊輝把賈憲的這張畫忠實地記錄下來，並保存在自己的《詳解九章算術》一書中。

後來人們發現，這個大三角形不僅可以用來開方和解方程，而且與組合、高階等差級數、內插法等數學知識都有密切關係。

在西方，直到16世紀才有人在一本書的封面上繪出類似的圖形。法國數學家巴斯加在1654年的論文中詳細地討論了這個圖形的性質，所以在西方又稱“巴斯加三角”。

楊輝除上述成就外，還分別寫了《日用演演算法》、《乘除通變本末》和《田畝比類乘除捷法》等書，這為後世的人們了解當時的數學面貌提供了極為重要的資料。

楊輝的幾部著作極大地豐富了我國古代數學寶庫，為數學科學的發展做出了卓越的貢獻，他不愧為“宋元四大家”之一。

他著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章演演算法》十二卷（1261年）、《日用演演算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除演演算法》二卷（1275年）、《續古摘奇演演算法》二卷（1275年）。楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷演演算法進行總結和發展，有的還編成了歌決，如九歸口決。

他在《續古摘奇演演算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關的構造方法，同時"垛積術"是楊輝繼沈括"隙積術"后，關於高階等差級數的研究。楊輝在"纂類"中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分，勾股等九類。

他非常重視數學教育的普及和發展，在《演演算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的"習算綱目"是中國數學教育史上的重要文獻。

楊輝的數學著作甚多，他編著的數學書共五種二十一卷，在他的著作中收錄了不少現已失傳的古代數學著作中的算題和演演算法。

楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面。

楊輝對籌算乘除捷演演算法進行了總結和發展，創“縱橫圖”之名。繼沈括“隙積術”之後，關於高階等差級數的研究創“垛積術”。又將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為九類。