正交向量組

任意兩個向量都是正交的，意思是說任意兩個向量之間作內積(數量積)為0.比如A=(1,1,2),B=(-1,-1,1),C=(1,-1) 可以驗證{A,B,C}是正交向量組 即A·B=B·C=C·A =0這裡的相乘是做內積，與向量夾角和模都有關a·b = |a|·|b|·Cos,結果為0,可能是模為0,也可能是夾角為Pi/2 標準正交向量組，就是正交向量組中向量都是單位向量 上例中令A'=A/根號6,B'=B/根號3,C'=C/根號2,{A',B',C'}就是標準正交向量組。

設有R^3中的標準單位向量е ₁=（1，0，0），е₂=（0，1，0），е₃=（0，0，1）。則

（е ₁，е₂）=0， （е ₁，е₃）=0，（е₂，е₃）=0.

所以｛е ₁，е₂，е₃｝是一個正交向量組。

在三維向量空間中， 兩個向量的內積如果是零， 那麼就說這兩個向量是正交的。正交最早出現於三維空間中的向量分析。 換句話說， 兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。若向量α與β正交，則記為α⊥β。

對於一般的希爾伯特空間， 也有內積的概念， 所以人們也可以按照上面的方式定義正交的概念。 特別的， 我們有n維歐氏空間中的正交概念， 這是最直接的推廣。

和正交有關的數學概念非常多， 比如正交矩陣， 正交補空間，施密特正交化法，最小二乘法等等。

另外在此補充正交函數系的定義：在三角函數系中任何不同的兩個函數的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，則稱這樣的三角函數組成的體系叫正交函數系。

正交向量組是一組非零的兩兩正交(即內積為0)的向量構成的向量組。

高等代數中，歐式空間的一組線性無關的向量張成一個子空間，那麼這一組向量就稱為這個子空間的一個基。施密特正交化提供了一種方法，能夠通過這一子空間上的一個基得齣子空間的一個正交基，並可進一步求出對應的標準正交基。從幾何上說，正交基就像一個歐式空間的直角坐標系，比如三維空間的x軸，)軸，:軸，沒有正交化的就是非歐幾何，如用(1,0,0)，X1,1,0)，(1,1,1)也可以作為一組基，但別的向量用這組基表示不方便。其實用正交基的好處在於數值計算上，不用正交基的話計算不穩定，會隨著計算過程逐步積累誤差，可能會使得誤差過大而使計算結果根本不可用，而正交基則不會發生這種問題。