覆疊空間
覆疊空間
覆疊空間(covering space)亦稱覆蓋空間，同倫論中一個重要概念。覆蓋空間在同倫理論，諧波分析，黎曼幾何和差分拓撲中起著重要作用。例如，在黎曼幾何中，分支是覆蓋地圖概念的概括。覆蓋空間也與同倫群體研究，特別是基礎群體的研究深深交織在一起。一個重要的應用來自結果，如果X是一個“足夠好”的拓撲空間，則X的連接覆蓋的所有同構類的集合與X的基本組的子群的共軛類之間存在著雙重的差異。
同倫論是拓撲學的重要概念。
直觀地說，從拓撲空間X到拓撲空間y的連續映射是同倫的，是指在y中可將f 連續形變成 g，設都是連續映射，，若存在連續映射：，使得對所有，
則稱f和g是同倫的映射，記為：，稱H 為從f到g的一個同倫或倫移，這時的，若對所有t，同倫f1都是X到Y的同胚，則稱f合痕於g。應該指出，映射的同倫關係是從拓撲空間X到Y的所有連續映射所成集合上的一個 等價關係，它將這些映射分成一些等價類，稱每個等價類為一個同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。
覆疊空間亦稱覆蓋空間。同倫論中一個重要概念。設是道路連通空間，X是連通且局部道路連通空間，是連續滿映射，若對於X中每一點x都有一個道路連通開鄰域U，使得對於的每個連通分支V，p在V上的限制是同胚，則稱為X的覆疊空間，稱p為覆疊映射，稱X為底空間，這樣的鄰域U稱為x的可允許的鄰域。例如，指數映射，把映為，則是的覆疊空間。若對於，取：
則：
為同胚。
覆疊空間理論包括映射提升定理，覆疊空間的分類定理，以及萬有覆疊空間的存在性等內容。例如道路提升定理：設是X的覆疊空間，為覆疊映射，若v為X的以a為起點的道路，則內有惟一的以b點為起點的道路，滿足，稱為道路v的提升。類似地，有閉路同倫提升定理：設是X的覆疊空間，若為連續映射，滿足條件：
則存在惟一的連續映射：滿足條件：
稱為F的提升。根據上述提升定理可知：覆疊映射p的誘導同態：是單同態。
道路連通空間一類拓撲空間。若對於拓撲空間X中的任意兩點都存在以這兩點分別為始點與終點的道路，則稱X為道路連通空間。若拓撲空間的子集作為子空間是道路連通的，則稱它為道路連通子集。道路連通空間一定是連通空間，但是，其逆不成立。例如，X為與的並集且賦予通常拓撲，則X是連通空間但不是道路連通空間。
關於覆疊空間的一條定理。設是X的覆疊空間，對於連續映射，若存在連續映射，滿足條件，則稱為f的提升。映射提升定理：若Y是連通且局部道路連通空間，，是X的覆疊空間，則連續映射存在提升的充分必要條件為，並且當提升存在時它是惟一的。這裡f和p分別為連續映射f和覆疊映射p對應的基本群之間的誘導同態。