懸鏈面

懸鏈線是一種曲線，指兩端固定的一條(粗細與質量分佈)均勻、柔軟(不能伸長)的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，因形狀與兩端固定的繩子在均勻引力作用下下垂相似而得名。適當選擇坐標系后，懸鏈線的方程是一個雙曲餘弦函數。它在數學中和工程中都有很重要的應用。懸鏈線圍繞其水平準線旋轉而成的曲面稱為懸鏈面。

懸鏈面是微分幾何中很重要的一種曲面，它的重要性在於它既是不尋常的極小曲面，又是旋轉曲面，主要藉助曲面的第一、第二類基本量及曲面上的各種曲率用各種方法來研究懸鏈面上各種曲線，例如漸近線、曲率線、測地線，得出曲線的形狀、方程和曲線具有的一些性質。它滿足極小曲面的性質，根據極小曲面的性質，可知懸鏈面的平均曲率為0，並且懸鏈面和正螺面之間存在保長變換，那麼它和正螺面之間也是有密切聯繫的。它上面特殊的曲線如漸近線、測地線等具有一些性質。

在笛卡兒直角坐標系中，將面上的懸鏈線 繞z軸旋轉生成的曲面是一懸鏈面，其參數方程為：

其中， 。

根據懸鏈面的參數方程可知：

（1）懸鏈面的第一基本量為：

（2）懸鏈面的第二基本量為：

正螺面上一族漸近線是直線，另一族漸近是螺旋線。那麼對於懸鏈面，是否會有相似的結論？

結論1：懸鏈面上的漸近線是直線，並且兩直線是正交的，即懸鏈面上的漸近網是正交網。

證明：把懸鏈面的第二類基本量代入漸近曲線的微分方程：

得：

即：

解上面的微分方程，得到兩條直線，所以懸鏈面上的漸近線是直線。由第一類基本量可知兩直線是正交的，即懸鏈面上的漸近網是正交網。

根據懸鏈面是旋轉曲面，可知懸鏈面上的曲率線—族是懸鏈線，一族是平行圓。根據第一、第二類基本量，可知懸鏈面上的曲紋坐標網是曲率線網。

根據主曲率、高斯曲率和平均曲率的計算公式，可知：

可知懸鏈面上所有點都是雙曲點，也可根據恆成立，推得懸鏈面上的所有點都是雙曲點，Dupin指標線是一對共扼的雙曲線。

關於旋轉曲面的測地線，有下面的結論成立：

引理1：旋轉曲面上的平行圓為測地線當且僅當是平行圓上每點處的子午線的切線平行於旋轉軸。

引理2：旋轉曲面上一非平行圓 c 為測地線當且僅當 c 上每點處均滿足（表示平行圓上的點到旋轉軸的距離）。

引理3：曲面上非直線的曲線是測地線的充要條件是除曲率為 0 地點外，曲面的主法線重合與曲面的法線。

對於懸鏈面，懸鏈面的曲紋坐標網的u-曲線即懸鏈線為測地線，v-曲線為測地線當且僅當雙曲正弦為0，即 。