數學心理學

1860年德國心理學家費希納在心理物理學研究中，最早用數學公式描述了客觀物理量和主觀感覺強度之間的函數關係。

1927年瑟斯頓在制定心理量表時提出了比較判斷率，並用公式來表明兩個刺激間的主觀距離。第二次世界大戰后，在資訊理論、控制論、統計決策論和計算機科學的推動下，數學心理學發展迅速。

20世紀50年代初，埃斯蒂斯、布希和莫斯蒂勒提出的學習模型，是這一新方向的開端。目前實驗心理學的許多重要領域，如測量、決策、學習和社會的相互作用等方面，都已制定出大量的數學模型。

數學心理學是利用數學模型來研究心理現象的心理學分支。用定量的方法來描述心理現象。由於研究的對象的複雜性，一般只能對研究作模糊定性上的描述，但在資訊理論、控制論、統計決策論和計算機科學發展的推動下，數學心理學也發展迅速，不斷取得了新成果。用數學模型描述心理現象，其優越性不僅是它比自然語言的描述具有更大的概括性、準確性、演繹力和預測力，更重要的是它便於用計算機來模擬，為研究人工智慧創造了更好的輔助。

一般說來，數學模型的建立，首先是把需要研究的心理現象，如知覺、學習、決策等等，從複雜的心理活動中分離出來，構成一個特定的集合，把原始資料加工成集合中的客體和關係。然後用代數的、幾何的、概率的、公理的形式，或者是計算機程序和方程式的形式，把它們表現出來。在這裡，主要的問題是確定研究領域的經驗系統，和表達它的形式系統之間的對應關係。

在數學模型建立之後，通過邏輯推理或數學運算可以推導出一定的結果。如果給模型以一定的解釋，所推出的結果就可以看作是對經驗系統的某種預測。進一步將預測值與實際測試值加以比較，依據二者的符合程度，還可以對數學模型加以修正。

數學學習研究一般採用兩種方式，一種是從一般心理學的理論出發，去對數學學習的具體問題作解釋與分析；另一種是儘可能從數學學習的具體過程出發，研究學生學習的真實心理活動，分析其認知過程、機制及心智變化，逐步形成具有自身特點的數學學習理論。

儘管國際數學教育委員會（ICMI）屬下的國際數學教育心理學研究組織（簡稱PME）極力倡導第二種方式，但從當前研究的實際狀況看，上述兩種方式都是必需的，而且在具體運用時它們常常是相輔相成的，很難加以區分。特別由於現代教育心理學理論有了長足的進展，我們更應重視運用其豐富的理論框架和多樣化的學術視角對數學學習心理規律作深入的認識。

20世紀上半葉，行為主義佔有主導地位，其基本立場是：學習研究不應涉及不可能觀察到的心理過程，而只應局限於可見的行為，這樣的研究才是科學的。

美國心理學家桑代克是行為主義的代表人物，他提出了以"刺激-反應聯結"和"試誤"為主要特點的學習理論，認為學習就是形成刺激反應聯結，這種聯結是直接的、無中介的，是在反覆的嘗試（不斷摒棄錯誤反應，保留正確反應）中所形成的。他在實驗的基礎上提出了三條學習定律：準備律、練習律和效果律。在1922年出版的著作《算術的心理學》中他指出，算術學習無非是一組針對某種數量和關係的特殊化的行為習慣。桑代克的觀點為數學學習中的機械練習和訓練提供了一定依據。另一位行為主義代表人物斯金納進一步發展了行為主義的主張，提出了操作性條件原理，認為單純的練習不能保證行為的重複出現，應藉助於操作性條件的作用，而這種作用的形成取決於強化。由此他提出了“刺激反應強化”的學習模式，並設計了教學機器和程序教學。斯金納的理論，為以後教育技術學的發展奠定了一定基礎。

20世紀下半葉，隨著學習心理研究的不斷深入，行為主義忽視學習的內在心理過程的嚴重缺陷已日益明顯，越來越多的心理學家轉向關注學習的內在過程，這促成了認知主義學習理論的形成。

德國的格式塔是早期的認知主義代表（格式塔是一個德語詞，意即完形），其核心人物有韋特海默、考夫卡、苛勒等。該學派主張思維是整體的有意義的知覺，他們以”完形“為基本概念，強調從整體上認識學習的本質，並提出了頓悟學習理論。早期對認知理論的形成施以影響的還有托爾曼，他所提出的"中間變數"（即學習主體的"內在機制"）的思想，成為其學習理論的核心概念。

瑞士心理學家皮亞傑是當代認知主義的重要代表人物，他對心理的發生髮展、認知結構及其機能等問題進行了深入研究，並提出了著名的認知建構理論、認知發展理論。”運算“（即思維操作）是皮亞傑理論中的關鍵概念，他據此將兒童認知發展分為四個主要階段，即感覺-運動階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段，並討論了各階段認知發展的基本特徵及相互聯繫。皮亞傑在《發生認識論原理》一書中提出"同化"和"順應"的概念，被人們普遍運用於解釋學習中的認知發展。他尤其對數學學習特有的心理特徵給予了關注，他甚至運用數學方式定義了其認知理論中的一些概念（如思維結構、自反抽象等）。

從20世紀六七十年代始，數學學習理論中的認知主義取代行為主義已成必然之勢。布魯納提出了發現學習理論，強調學習進程是一種積極的認知過程，提倡知識的發現學習。他進行了大量的數學學習實驗，並從中總結出四條數學學習原理，即建構原理、符號原理、比較和變式原理、關聯原理。此外奧蘇貝爾提出了"有意義學習"理論，加涅提出了"信息加工"學習理論。正是如此眾多認知學習理論的出現，使數學心理研究範式發生了重要轉變，並預示著認知理論將會有新的發展。

建構主義是行為主義發展到認知主義以後的進一步發展，它是在吸取了眾多學習理論，尤其是在皮亞傑、維果茨基思想的基礎上發展和形成的。建構主義對“什麼是學習活動的本質”從整體上及一定的認識論角度作出了科學的分析。儘管建構主義有諸多流派，但對學生學習有如下共識：（1）學習是一個積極主動的建構進程，學生不是被動地接受外在信息，而是根據先前認知結構主動地和有選擇地知覺外在信息，建構其意義。（2）課本知識並不是對現實的準確表徵，它只是一種解釋，一種較為可靠的假設，學生對這些知識的學習是在理解基礎上對這些假設作出自己的檢驗和調整的過程。因此，知識可以視為個人經驗的合理化，而不是說明世界的真理。（3）學習中知識建構不是任意的，它具有多向社會性和他人交互性。知識建構的過程應有交流、磋商，並進行自我調整和修正。（4）學生的學習過程是多元化的，由於對象的複雜多樣化、學習情感的某種特殊性、個人經驗的獨特性，使得學生對對象意義的建構也是多維度的。建構主義學習理論對指導數學學習有多方面的意義：

首先，應該用建構主義觀點看數學。數學本身也是主體建構的產物，它應該是活的、動態的、開放的、表現多維度的、並非絕對正確的數學活動的結果。這樣的數學觀將直接導致數學課程觀和教學觀的變化。

其次，應強調知識學習是一個建構過程，必須突出學習者的主體作用。教師的講解並不能直接將知識傳輸給學生，教師只能通過組織者、合作者和引導者的身份，使學生主動參與到整個學習過程中去。此外，應更加關注學生學習的個性化特徵，使其在知識學習中獲得合理的個人經驗的內化。但是又要看到知識的建構不僅是個人的，也是社會的。因此，課堂上師生的交互和共同的活動顯得至關重要，“學習共同體”的形成以及對課堂社會環境和情境的營建成為獲得數學學習成效的重要途徑。

三、幾種值得學習借鑒的新學習理念誠如學生對知識的學習是一種主體的建構一樣，人們對學習心理發展規律的認識也是一種主體的建構，這就必然形成對學習心理發展的多元化認識，促使若干新學習理念不斷出現。比如，加德納的“多元智力論”，認為每個人都或多或少具有多種智能（目前已提出9種），每個人都有自己的優勢智力所在，它試圖通過擴大學習的內容領域與知識的表徵方式促進以往被忽視的智能的開發，充分發揮每個人的潛能；斯騰伯格的“成功智力說”，將成功引入智力研究範圍，試圖從智力活動的產品在現實中成功與否的角度評價智力；“交往教學理論”則把教學過程視為交往過程，注重師生交往的改進，強調學生個性的“自我實現”……凡此種種，為我們從更新的角度、更深的層次、更廣的維度認識數學學習與身心發展關係提供了更富時代內涵的理論依據，值得深入學習探討。