重尾分佈

重尾分佈又可以分為兩個子類型，分別是長尾分佈（long-tailed distributions）以及次指數分佈（subexponential distributions）。

在一個累積分佈函數中，一個隨機變數X　的分佈狀況，在以下狀況時，被稱為是一個重尾分佈。假設：

如果以尾部分佈函數的方式來呈現時，

最後可以被寫成：

這相當於一個動差生成函數， ，對所有的 來說，都是無限的。重尾分佈的左尾，與雙尾分佈，定義相同 。

重尾分佈意味著可以更大的概率獲得很大的值. 因此與弱隨機性相反，重尾分佈一般表示病態，增加的各種結果被確定為具有重尾分佈，包括收入分佈、財務報告、保險支出、網頁的參考鏈接等。重尾分佈的一個特殊的子集是冪律，其意味著概率密度函數是一個冪。 一個技術難題是，不是所有的矩存在於這些分佈，這一般意味著它們使用分位數和其它順序統計學。這也就是說，中心極限定理不再成立。但是對於諸如均值，即穩定分佈的線性組合，我們獲得一個新的標準極限分佈。

設X是一個隨機變數， 為它的分佈函數，如果當 時 稱X的分佈為重尾分佈，又稱冪律分佈。

一般來說，服從重尾分佈的隨機變數X具有較大甚至是無窮大的方差，而且當 時，X的均值也是無窮的。隨機變數X會以不可忽略的概率取到非常大的數值，即：大量的小抽樣取值和少量的大抽樣取值並存。

1.長尾分佈

在一個累積分佈函數中，一個隨機變數X的分佈，出現以下狀況時，被稱為是一個長尾分佈。假設對所有 ：

這相等於

對一個右尾部形成長尾分佈的狀況，我們可以做一個直觀的解釋：假如一個長尾分佈的尾部數量超過某個很高的水準，它超過另一個更高水準的機率會接近於一。也就是說，如果你發現狀況很糟，它可能會比你想像的還要糟。

長尾分佈是重尾分佈中的一個特例。所有的長尾分佈都是重尾分佈，但反之則不然，也就是說，我們可以找出某一個重尾分佈，它不是長尾分佈。

次指數分佈是以概率分佈的折積定義出來的。兩個獨立、不同的隨機變數的共同分佈函數 ，它自己的折積定義為，使用勒貝格-史台傑斯積分（Lebesgue–Stieltjes integration） 定義為：

n-fold折積的 也以同樣方式定義。其尾端分佈函數定義為{。

當以下式子成立，概率分佈函數在正的中線上，被定義為次指數分佈：

這也意味著，對所有來說：