西方文化中的數學

幾乎每個人都知道，數學在工程設計中具有極其重要的實用價值。但是卻很少有人懂得數學在科學推理中的重要性，以及它在重要的物理科學理論中所起的核心作用。至於數學決定了大部分哲學思想的內容和研究方法，摧毀和構建了諸多宗教教義，為政治學說和經濟理論提供了依據，塑造了眾多流派的繪畫、音樂、建築和文學風格，創立了邏輯學，而且為我們必須回答的人和宇宙的基本問題提供了最好的答案，這些就更加鮮為人知了。作為理性精神的化身，數學已經滲透到以前由權威、習慣、風俗所統治的領域，而且取代它們成為思想和行動的指南。最為重要的是，作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就，數學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美。

儘管這些絕不是對人類思想和生活無足輕重的貢獻，但有教養的人也幾乎普遍拒絕將數學作為一項智力愛好。從某種意義上來說，對待數學的這種態度有其深刻的原因。在教科書和學校的課程中，都將“數學”看作是一系列毫無意義的、充滿技巧性的程序。把這樣的東西作為數學的特徵，就如同把人體結構中每一塊骨骼的名稱、位置和功能當作活生生的、有思想的、富於激情的人一樣。如同一個單詞，如果脫離了上下文，不是失去了原來的意義，就是有了新的含義一樣，在人類文明中，數學如果脫離了其豐富的文化基礎，就會被簡化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了。由於外行人很少使用數學技巧及其知識，因此他們對這些通常顯得枯燥無味的東西很反感。這樣一來產生的結果是，對於數學這樣一門基礎性的、富有生命力的、崇高的學科，就連一些受過良好教育的人也持無視甚至輕蔑的態度。的確，對數學的無知已經成了一種社會風尚。

儘管本書採用的是歷史方法，但卻不是一部數學史。歷史的順序碰巧與這門學科的邏輯發展有著驚人的一致性，並且歷史方法亦是考察思想如何產生、是什麼激發了對這些思想的研究，以及這些思想是如何影響其他領域的最合適的方法。因此，通過閱讀本書，讀者將得到一份重要的額外收穫：數學作為一個整體是如何發展的，數學的活躍時期和沉寂時期與相應的西方文明發展時期的關係怎樣，以及文明的進程如何影響數學的內容和本質。我們希望，通過把數學作為現代文明的一個有機組成部分，將能使讀者對數學與現代文化之間的關係有全新的認識。

遺憾的是，在一部一卷本書中作者僅僅只能舉例闡釋這些問題。由於篇幅所限，他必須從大量的文獻中進行節選。例如，談到數學和藝術的相互關係時，就只限於討論文藝復興時期的情況。熟悉現代科學的讀者將會注意到，本書中幾乎沒有關於數學在原子物理、核物理發展中所起的作用的論述。一些重要的現代自然哲學，特別是像A·N·懷特海(Whitehead)的理論，也只能點到為止。但是，我們仍希望，所選的材料能夠為本書提供充分的論據，並且能激發起讀者的興趣。

為了使數學活動中的一系列事件顯得更加突出，有必要扼要地回顧一下歷史。學術研究如政治活動一樣，充滿凝聚力的團體的力量和眾多個人的貢獻共同決定著事業的成就。現代科學中定量研究方法的創立，並不是伽利略(Galileo)單槍匹馬完成的。微積分是牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz)創造的，同樣也是歐多克索斯(Eudoxus)、阿基米德(Archimedes)和許多17世紀數學家的創造。在數學中，這一點顯得特別突出：當一位數學家做出了創造性工作時，他的成功實際上是千百年來數學思想的結晶，凝聚了許多數學家的心血。

毫無疑問，在涉及藝術、哲學、宗教和社會科學等方面之後，作者已經闖入了天使——當然是數學天使——望而卻步的領域。為了使人們認識到數學不是一種乏味的、機械性的工具，而是與其他文化領域緊密相連、相互依存的無價之寶，即使冒著犯錯誤(但希望這種錯誤儘可能少犯)的風險也依然值得。

也許，討論這種人類理性的成就，在一定程度上能增強我們對文明的信心，這種文明在今天面臨著被毀滅的危險。燃眉之急可能是政治上和經濟上的。在這些領域中，至今還沒有充分的證據表明人類的力量能克服自身的困難，進而建設一個合理的世界。通過研究人類最偉大和最富於理性的藝術——數學，則使得我們堅信，人類的力量足以解決自身的問題，而且到現在為止人類所能利用的最成功的方法是能夠找到的。

莫里斯·克萊因（Morris Kline,1908—1992），紐約大學庫朗數學研究所的教授，榮譽退休教授，他曾在那裡主持一個電磁研究部門達20年之久。1936年獲得紐約大學教學專業博士學位，曾任紐約大學柯朗數學科學研究所電磁研究部主任長達20年；擔任紐約大學研究生數學教學委員會主席11年；擁有無線電工程方面的多項發明專利。他的著作很多，包括《數學：確定性的喪失》和《數學與知識的探求》等。

序言

前言

論莫里斯·克萊因的數學哲學思想

第一章 導論: 數學與文化———是與非的觀念

第二章 數學中的經驗法則

第三章 數學精神的誕生

第四章 歐幾里得《幾何原本》

第五章 天體測量

第六章 自然獲得了理性

第七章 停滯時期

第八章 數學精神的復興

第九章 世界的和諧

第十章 繪畫與透視

第十一章 從藝術中誕生的科學: 射影幾何

第十二章 方法論

第十三章 研究自然的定量方法

第十四章 宇宙定律的演繹推理

第十五章 領悟飛逝的瞬間: 微積分

第十六章 牛頓的影響: 科學與哲學

第十七章 牛頓的影響: 宗教

第十八章 牛頓的影響: 文學和美學

第十九章 G大調的正弦函數

第二十章 把握以太波

第二十一章 關於人的本性的科學

第二十二章 鮮為人知的數學理論: 應用於人類研究中的統計方法

第二十三章 預測與概率

第二十四章 無序的宇宙: 用統計觀點看世界

第二十五章 無窮的悖論

第二十六章 新幾何，新世界

第二十七章 相對論

第二十八章 數學: 方法與藝術

參考文獻

譯者後記