AR模型

ARMA模型(auto regressive moving average model)自回歸滑動平均模型，模型參量法高解析度譜分析方法之一。這種方法是研究平穩隨機過程有理譜的典型方法，適用於很大一類實際問題。它比AR模型法與MA模型法有較精確的譜估計及較優良的譜解析度性能，但其參數估算比較繁瑣。

設一個離散線性系統，輸入是一個具有零均值與方差為σ的白雜訊序列，輸出是，該離散線性系統輸出和輸入之間的關係可用如下圖1的差分方程來表示。

其系統函數如下：

式中為輸出信號的Z變換，為輸入信號的Z變換，以①式表達的信號模型稱為ARMA模型或稱為自回歸滑動平均模型。一旦確定了模型的參數，就可得到其功率譜估計。

ARMA模型參數估計的方法很多：

如果模型的輸入序列與輸出序列均能被測量時，則可以用最小二乘法估計其模型參數，這種估計是線性估計，模型參數能以足夠的精度估計出來；

許多譜估計中，僅能得到模型的輸出序列，這時，參數估計是非線性的，難以求得ARMA模型參數的準確估值。從理論上推出了一些ARMA模型參數的最佳估計方法，但它們存在計算量大和不能保證收斂的缺點。因此工程上提出次最佳方法，即分別估計AR和MA參數，而不像最佳參數估計中那樣同時估計AR和MA參數，從而使計算量大大減少。

MA模型(moving average model)滑動平均模型，模型參量法譜分析方法之一，也是現代譜估中常用的模型。

設一個離散線性系統，輸入是一個具有零均值與方差為σ的白雜訊序列，輸出是，該離散線性系統的輸出和輸入之間的關係可用如下圖3的差分方程來表示。

其系統函數為圖4。

式中為輸出信號的Z變換，為輸入信號的Z變換，是係數。式①表達的信號模型稱為MA模型，又稱移動平均模型。按公式的物理意義可以解釋為模型表示現在的輸出是現在和過去M個輸入的加權和。按②式，MA模型是一個全零點模型。

用MA模型法求信號譜估計的具體作法是：①選擇MA模型，在輸入是衝激函數或白雜訊情況下，使其輸出等於所研究的信號，至少應是對該信號一個好的近似。②利用已知的自相關函數或數據求MA模型的參數。③利用求出的模型參數估計該信號的功率譜。

在ARMA參數譜估計中，大多數估計ARMA參數的兩步方法都首先估計AR參數，然後在這些AR參數基礎上，再估計MA參數，然後可求出ARMA參數的譜估計。所以MA模型參數估計常作為ARMA參數譜估計的過程來計算。

可以用於處理分離正弦信號頻率，多應用於機械零件比如齒輪、軸承故障診斷和分析。