雙葉雙曲面

在幾何學中，雙葉雙曲面（有時稱為旋轉雙曲面、橢圓雙曲面或圓形雙曲面）是通過圍繞其主軸旋轉雙曲線而產生的表面。雙曲面是可以通過使用方向定標使其變形而從旋轉拋物面獲得的表面。

雙曲面是二次曲面，其可以被定義為三個變數中的二維多項式的點的集合的表面。在二次曲面中，雙曲面的特徵在於不僅具有對稱中心，而且讓平面和其相交還能形成錐體、柱體等。雙曲面還具有三對垂直對稱軸和三對垂直對稱平面。

給定雙曲面，如果選擇軸為雙曲面對稱軸的笛卡爾坐標系，並且原點是雙曲面的對稱中心，則雙曲面可以由以下兩個方程之一定義：

或者

這兩個方程均趨近於下面方程的錐。

當且僅當時能形成旋轉雙曲面。

在第一種情況下（方程式右側的為1），它是單葉雙曲面，也稱為雙曲面。它是一個連接表面，每個點都具有負高斯曲率。這意味著任何點處的切線平面與雙曲面相交成兩條線，因此單葉雙曲面是雙重曲面。

在第二種情況（方程式右側的為-1）中，它具有兩片雙曲面，稱為雙葉雙曲面。表面有兩個連接的部件，每個點都有正高斯曲率。因此，在這個意義上，表面是凸的，每個點的切線平面僅在這一點上相交。

可以定義雙曲面的笛卡爾坐標，類似於球面坐標，保持方位角，但將傾斜度v變為雙曲線三角函數：

雙葉雙曲面：

雙葉雙曲面不包含線。對於平面截面的討論可以用兩個方程式的雙曲面：

其可以通過圍繞其一個軸線（切割雙曲線的）的旋轉雙曲線產生.

（1）斜率小於1的平面（1是生成雙曲線的漸近線的斜率）與相交或者是橢圓或者是一個點或者不相交；

（2）包含原點的斜率等於1的平面（雙曲面的中點）與 不相交；

（3）不包含原點的斜率等於1的平面與相交成拋物線；

（4）斜率大於1的平面 相交成雙曲線。

雙曲面的方程：

（1）關於原點對稱；

（2）關於坐標平面對稱；

（3）在（旋轉雙曲面）的情況下，與z軸旋轉對稱並對稱於包含z軸的任何平面。

雙葉雙曲面的高斯曲率為正。儘管它具有正曲率，但是具有另一適當選擇的度量的雙葉雙曲面也可以用作雙曲線幾何的模型。

更一般地，以v為中心的任意取向的雙曲面由等式定義：

其中A是矩陣，x，v是向量。

A的特徵向量定義雙曲面的主方向，A的特徵值是半軸平方的倒數：，， 。單葉雙曲面具有兩個正特徵值和一個負特徵值。雙葉雙曲面具有一個正特徵值和兩個負特徵值。

虛構的雙曲面經常出現在較高維數的數學中。例如，在偽歐幾里德空間中，使用二次形式：

當c為任何常數時，則由空間給出的部分

被稱為雙曲面。退化情況對應於