雙曲線
應用於數學解析幾何的函數曲線
一般的，雙曲線（希臘語“ὑπερβολή”，字面意思是“超過”或“超出”）是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。
它還可以定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這裡的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的實半軸。焦點位於貫穿軸上，它們的中間點叫做中心，中心一般位於原點處。
在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位於平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。雙曲線有兩片，稱為連接的組件或分支，它們是彼此的鏡像，類似於兩個無限弓。雙曲線是由平面和雙錐相交形成的三種圓錐截面之一。 （其他圓錐部分是拋物線和橢圓，圓是橢圓的特殊情況）如果平面與雙錐的兩半相交，但不通過錐體的頂點，則圓錐曲線是雙曲線。
雙曲線出現在許多方面：
作為日後的陰影的路徑，
作為亞原子粒子的散射軌跡（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的），
在無線電導航中，當距離到兩點之間的距離而不是距離本身可以確定時，
等等。
雙曲線的每個分支具有從雙曲線的中心進一步延伸的更直（較低曲率）的兩個臂。對角線對面的手臂，一個從每個分支，傾向於一個共同的線，稱為這兩個臂的漸近線。所以有兩個漸近線，其交點位於雙曲線的對稱中心，這可以被認為是每個分支反射以形成另一個分支的鏡像點。在曲線的情況下，漸近線是兩個坐標軸。
雙曲線共享許多橢圓的分析屬性，如偏心度，焦點和方向圖。許多其他數學物體的起源於雙曲線，例如雙曲拋物面（鞍形表面），雙曲面（“垃圾桶”），雙曲線幾何（Lobachevsky的著名的非歐幾里德幾何），雙曲線函數（sinh，cosh，tanh等）和陀螺儀矢量空間（提出用於相對論和量子力學的幾何，不是歐幾里得）。
我們把平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等於一個常數(常數為2a，小於|F1F2|)的軌跡稱為雙曲線;平面內到兩定點的距離差的絕對值為定長的點的軌跡叫做雙曲線）
即：
定義1：平面內，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數（小於這兩個定點間的距離）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點。
定義2：平面內，到給定一點及一直線的距離之比為常數e（（），即為雙曲線的離心率）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線。雙曲線準線的方程為（焦點在x軸上）或（焦點在y軸上）。
定義3：一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平行也不通過圓錐面頂點，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。
滿足以下條件時，其圖像為雙曲線。
1.a、b、c不都是零.
2.
註：第2條可以推出第1條。
在高中的解析幾何中，學到的是雙曲線的中心在原點，圖像關於x，y軸對稱的情形。
這時雙曲線的方程退化為：
上述的四個定義是等價的，並且根據建好的前後位置判斷圖像關於x，y軸對稱。
標準方程為：
1、焦點在X軸上時為：
2、焦點在Y 軸上時為：
以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關概念和性質。
可以從圖像中看出，雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時，為左軸與右軸；當焦點在y軸上時，為上軸與下軸。
在定義1中提到的兩個定點稱為該雙曲線的焦點，定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。焦點的橫（縱）坐標滿足
在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準線。
在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。
離心率
雙曲線有兩個焦點，兩條準線。(注意：儘管定義2中只提到了一個焦點和一條準線，但是給定同側的一個焦點，一條準線以及離心率可以根據定義2同時得到雙曲線的兩支，而兩側的焦點，準線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。)
雙曲線和它的對稱軸有兩個交點，它們叫做雙曲線的頂點。
兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸，實軸長的一半稱為實半軸。
在標準方程中令，該方程無實根，為便於作圖，在y軸上畫出以B1B2為虛軸.
雙曲線有兩條漸近線。漸近線和雙曲線不相交。
漸近線的方程求法是：將右邊的常數設為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解，
例如： ,將1替換為0,得則雙曲線的漸近線為
一般地我們把直線 叫做雙曲線(焦點在X軸上)的漸近線(asymptote to the hyperbola )
焦點在y軸上的雙曲線的漸近線為
雙曲線 上一點與兩頂點連線的斜率之積為。
若
則 或
·例：已知F1、F2為雙曲線C：的左右焦點，點P在C上，，則P到x軸的距離為多
少？
解：由雙曲線焦點三角形面積公式得:( )=
設P到x軸的距離為h，則 ;
焦點在x軸上)或者焦點在y軸上)。
。同時 AA'叫做雙曲線的實軸且。
。同時 BB'叫做雙曲線的虛軸且
。F1為雙曲線的左焦點，F2為雙曲線的右焦點且
對實軸、虛軸、焦點有：
焦點在x軸:。
焦點在y軸:. 圓錐曲線當時，表示雙曲線。其中p為焦點到準線距離，θ為弦與x軸夾角。令可以求出θ，這個就是漸近線的傾角，即
令，得出
令，得出
這兩個x是雙曲線定點的橫坐標。
求出它們的中點的橫坐標（雙曲線中心橫坐標）
（注意化簡一下）是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。
將這條直線順時針旋轉 角度后就得到漸近線方程，設旋轉后的角度是θ’
則
則
代入上式：
即：
然後可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：
現證明雙曲線上的點在漸近線中
設M(x,y）是雙曲線在第一象限的點，則
因為，所以
所以
所以，雙曲線在第一象限內的點都在直線下方。
根據對稱性第二、三、四象限亦如此。
第一定義：.
第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離│PF│ 與 點P到定直線（相應準線）的距離d 的比等於雙曲線的離心率e。
d點│PF│/d線（點P到定直線（相應準線）的距離）=e
（圓錐曲線上任意一點到焦點距離）
左焦半徑:
右焦半徑：
一雙曲線的實軸與虛軸長相等 即：且
這時漸近線方程為：（無論焦點在x軸還是y軸）
雙曲線S'的實軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S'的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S'與雙曲線S為共軛雙曲線。
幾何表達：
特點：（1）共漸近線；與漸近線平行得線和雙曲線有且只有一個交點
（2）焦距相等
（3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數相加等於1
焦點在x軸上：
焦點在y軸上：
推導如下：
由 直線的斜率公式:得
分別代入兩點間的距離公式：稍加整理即得：·雙曲線的標準公式與反比例函數：而反比例函數的標準型是
但是反比例函數圖象確實是雙曲線軌跡經過旋轉得到的
因為的對稱軸是而的對稱軸是x軸，y軸
所以應該旋轉45°
設旋轉的角度為 a（，順時針）
（a為雙曲線漸進線的傾斜角）
則有
由此證得，反比例函數其實就是雙曲線的一種形式，.只不過是雙曲線在平面直角坐標系內的另一種擺放形式.
雙曲線內、上、外
在雙曲線的兩側的區域稱為雙曲線內，則有
在雙曲線的線上稱為雙曲線上，則有；在雙曲線所夾的區域稱為雙曲線外，則有。
基本信息
- 中文名
- 雙曲線
- 外文名
- hyperbola
- 應用
- 數學（解析幾何）
- 離心率
- e=c/a（a²+b²=c²)
- 參數關係
- c²=a²+b²
- 標準方程2
- y²/a²-x²/b² = 1焦點在y軸
- ab大小
- a >0,b >0
- 漸近線方程
- Y=±(b/a）X或Y=±(a/b)X
- 實際應用
- 埃菲爾鐵塔，天文望遠鏡的設計
- 標準方程1
- x²/a²-y²/b² = 1焦點在x軸