商群

憑藉這個運算我們可以首先解釋商群是什麼，並接著解釋正規子群是什麼:

群 G 的商群是其自身在這個運算下的群 G 的劃分。

它完全由包含 e 的子集所確定。G 的正規子群是在任何這種劃分中包含 e 的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的陪集。

群 G 的子群 N 是正規子群，當且僅當陪集等式 對於所有 G 中的 a 都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算，G 的正規其群是交換於 G 的所有子集的子群，並指示為 。置換於 G 的所有子群的子群叫做可置換子群。

設 N 是群 G 的正規子群。我們定義集合 是 N 在 G 中的所有左陪集的集合，就是說。在 上的群運算定義如上。換句話說，對於每個 中 aN 和 bN，aN 和 bN 的乘積是 。這個運算是閉合的，因為實際上是左陪集:

。

N 的正規性被用在了這個等式中。因為 N 的正規性，N 在 G 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 也可以定義為 N 在 G 中所有的右陪集的集合。因為運算是從 G 的子集的乘積得出的，這個運算是良好定義的(不依賴於表示的特定選擇)，符合結合律的，並有單位元 N。 的元素 aN 的逆元是。

叫做商群的理由來自整數的除法。在 12 除以 3 的時候得到答案 4 是因為我們可以把 12 個對象重現分組為 3 個對象的 4 個子搜集。商群出於同樣想法，但用一個群作為最終答案而非一個數，因為群要比對象的隨機搜集要更有結構。

更細緻的說，在查看 而 N 是 G 的正規子群的時候，這個群結構形成一種自然“重新分組”。它們是 N 在 G 中陪集。因為我們從一個群和正規子群得到的最終的商包含比只是陪集的(正常除法所產生的)數目要更多的信息，這裡得到了一個群結構自身。

考慮整數集 Z (在加法下)的群和所有偶數構成的子群 2Z。這是個正規子群，因為 Z 是阿貝爾群。只有兩個陪集: 偶數的集合和奇數的集合；因此商群 是兩個元素的循環群。這個商群同構於集合 帶有模 2 加法運算的群；非正式的說，有時稱 等於集合 帶有模 2 加法。

上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集 Z 在加法下的群。設 n 是任何正整數。我們考慮由 n 的所有倍數構成的 Z 的子群 nZ。nZ 在 Z 中還是正規子群因為 Z 是阿貝爾群。陪集們是搜集。整數 k 屬於陪集，這裡的 r 是 k 除以 n 的餘數。商 可以被認為模以 n 的“餘數”的群。這是個 n 階循環群。

N 在 G 中的陪集考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾群 G，它們是在單位圓上的點，它們在右圖中展示為著色的球並在每點上用數標記出它們的幅角。考慮它由單位一的四次根構成的子群 N，在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群(紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素，藍色元素的逆元是綠色元素等等)。因此商群 是三種顏色元素的群，它又是三個元素的循環群。

考慮實數集 R 在加法下的群，和整數集子群 Z。Z 在 R 中的陪集們是形如 a + Z 的所有集合，這裡 是實數。這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法，並在結果大於或等於 1 的時候減去 1 完成的。商群 同構於圓群 S1，它是絕對值為 1 的複數在乘法下的群，或者說關於原點的二維旋轉的群，也就是特殊正交群 。有一個同構給出為(參見歐拉恆等式)。

如果 G 是可逆的實數矩陣的群，而 N 是帶有行列式為 1 的 實數矩陣的子群，那麼 N 在 G 中是正規子群(因為它是行列式同態的核)。N 的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此 同構於非零實數的乘法群。

考慮阿貝爾群 (也就是集合帶有加法模 4)，和它的子群。商群 是。這是帶有單位元的群，群運算如。子群 和商群 同構於 Z2。

考慮乘法群。第 n 個餘數的集合 N 是 的階乘法子群。則 N 在 G 中是正規子群並且因子群 有陪集 N, 。 Pallier加密系統基於了在不知道 n 的因子分解的時候難於確定 G 的隨機元素的陪集的猜想。

商群同構於平凡群(只有一個元素的群)，而 G / 同構於 G。

的階定義為等於，它是 N 在 G 中的子群的指標(index)。如果 G 是有限的，這個指標還等於 G 的階除以 N 的階。注意 可以在 G 和 N 二者是無限的時候是有限的(比如 )。

有一個“自然”滿射群同態 ，把每個 G 的元素 g 映射到 g 所屬於的 N 的陪集上，也就是。映射 π 有時叫做“ G 到 上的規範投影”。它的核是 N。

在包含 N 的 G 的子群和 的子群之間有一個雙射映射；如果 H 是包含 N 的 G 的子群，則對應的 的子群是 π(H)。這個映射對於 G 的正規子群和 也成立，並在格定理中形式化。

商群的一些重要性質記錄在同態基本定理和同構基本定理中。

如果 G 是阿貝爾群、冪零群或可解群，則 也是。

如果 G 是循環群或有限生成群，則 也是。

如果 N 被包含在 G 的中心內，則 G 也叫做這個商群的中心擴張。

如果 H 是在有限群 G 中的子群，並且 H 的階是 G 的階的一半，則 H 保證是正規子群，因此 存在並同構於 。這個結果還可以陳述為“任何指標為 2 的子群都是正規子群”，並且它的這種形式還適用於無限群。

所有群都同構於一個自由群的商。

有時但非必然的，群 G 可以從 和 N 重構為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。同構於 ，並且還同構於，但是唯一的半直積是直積，因為 只有一個平凡的自同構。所以 不同於，它不能被重構。

商環，也叫做因子環

群擴張

格定理

商範疇

短正合序列