算學

古代許多優秀數學家撰寫的數學著作，因年代久遠，大都已經散失，能夠流傳到今天的已為數不多。其中，《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《吾曹算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《五經算術》、《綴術》十部數學著作，有《算經十書》之稱。這十部書是漢至唐1000多年間的最重要的數學著作，不僅在我國數學史上佔有重要地位，而且有的在世界數學史上久負盛名。

《周髀算經》原名《周髀》。十一部闡明蓋天說和四分曆法的古天文著作，也是我國現存最古老的數學著作。出於天文、曆法要運用數學計算，因此書中有許多數學內容。它的作者已無從查考，成書年代也有多種說法：中國數學史專家李儼認為，它的成書可追溯到公元前4世紀；也有的學者認為，它成書於東漢初，即公元前1世紀。在《周髀算經》中，有關數學內容主要有：分數的乘除法、公分母的求法、分數的應用、等差級數演進次序，以及用勾股定理進行天文計算等。

《九章算術》成書於公元1世紀下半葉，是經過先秦到兩漢時代人們不斷地修改補充才逐漸定型的，標誌著古代數學體系的初步形成。全書收集了246蓋數學問題的解法，並按問題的性質分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股等舊賬，涉及到分數計演演算法、比例計演演算法、面積體積計演演算法、開方術，以及方程中的正負數運算，是那個時代世界上最先進的算術。《九章算術》對中國數學的發展具有典籍的意義，所開創的體例和注重實際計算問題的風格，一直為後世所沿用。它的許多方面的內容在當時都居於世界領先地位，如分數四則運算、比例演演算法、解聯立方程組、正負數運算、幾何圖形的面積體積計算等。它還被譯成了許多種文字，朝鮮和日本等國曾經拿它作教科書教授學生。

《海島算經》又稱《重差》，原始《九章算術注》的最後一卷，為三國時代魏國數學家劉徽所撰寫。他的《九章算術注》很有名，為世界數學界所讚譽。到了唐代，才將它分離出來。因為它的第一題是一個測望海島山峰、推算高度和距離的問題，故改名為《海島算經》。《海島算經》是古代非常先進的地圖學的數學基礎，主要講述利用標桿進行兩次、三次以及最複雜的四次測量，對測量物的高度和距離進行計算，並總結和發展了“兩重茬方法”，進一步闡明了相似三角形的性質及其應用。

《綴術》是南北朝著名數學家祖沖之撰寫的一部享有盛名的數學著作，可惜在公元10世紀以後失傳了。根據《隋書·律立志》和沈括《夢溪筆談》的記載，其內容包括圓周率和球形體積的計算，以及內插法和三次方程的求解等問題的計算。因此此書主要根據天文曆法計算中的實際問題提出數學解答，以實測天象為主，“以後算術綴之”，故取名為《綴術》。由於它的內容深奧，在唐代的數學教育中，《綴術》的學習年限為四年，是《算經十書》中學習時間最長的一部著作。

圓周率計算直徑與周長之比，是一個使古代數學傷腦筋的問題。我國在《周髀算經》、《九章算術》中，已得出“徑一周三”的圓周率近似值。劉徽創造了“割圓術”。系統而嚴格地用內接正多邊形來求圓周率的近似值。他認為這個結果還可以繼續算下去，當多邊形無限增多時，多邊形的面積之和就等於圓的面積。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。”（劉徽《九章算術注》）劉徽的“割圓術”，為圓周率的研究奠定了理論基礎。祖沖之時古代偉大的科學家，在數學、天文曆法、機械製造等方面都有突出的成就。在數學方面，他求出圓周率在3.1415926至3.1415927之間。祖沖之害用兩個分數來表示圓周率，一個是355/113，叫做密率，一個是22/7，叫約率。德國的鄂圖在1573年才達到這個水平，比祖沖之晚了一千多年，因而西方數學史專家提議將這一精確度的圓周率值命名為“祖率”。

至唐代末，在計算技術方面，傳統的算籌備珠算所取代，宋元時期對珠算進行了很大的改進。算盤和珠算口訣對於實用數學的普及具有重要作用，這是當時世界上最先進的計算工具和計算方法。宋元時期我國還湧現了一批高水平的數學著作和著名的數學家，其中秦中韶、楊輝和朱世傑被譽為宋元數學四大家。他們的主要成就有高次方程及高次方程組的解法、二項式展開項係數三角形的研究、已知三邊如何求三角形的面積等，達到了當時中國也是世界最先進的數學水平。