秩

矩陣的秩

主條目：矩陣的秩

用行列式定義

設矩陣中有一個階非零子式，且所有階子式（如果存在的話）全等於0，那麼稱為矩陣的最高階非零子式，數稱為矩陣的秩，記為.並規定零矩陣的秩等於0。

用線性映射定義

考慮線性映射：

對於每個矩陣，都是一個線性映射，同時，對每個的線性映射，都存在矩陣使得。也就是說，映射

是一個同構映射。所以一個矩陣A的秩序還可定義為的像的維度（像與核的討論參見線性映射）。矩陣A稱為fA的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性映射而不需要指定矩陣，因為每個線性映射有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為n減f的核的維度；秩-零化度定理聲稱它等於的像的維度。

向量組的秩

主條目：向量組的秩

用最大無關組定義

設有向量組，若能在中選出個向量，滿足

(i)向量組線性無關；

(ii)向量組中任意個向量（如果有的話）都線性相關，

那麼稱向量組是向量組的一個最大無關組，其所含向量個數稱為向量組的秩，記為.

用線性空間定義

在一個線性空間中，一個向量組秩序表示的是其生成的子空間的維度。考慮矩陣，將的秩定義為向量組的秩，則可以看到如此定義的的秩就是矩陣的線性無關縱列的極大數目，即的列空間的維度(列空間是由的縱列生成的的子空間)。因為列秩和行秩是相等的，我們也可以定義的秩為的行空間的維度。

矩陣法的性質

(1);

(2);

(3)若，則；

(4)若可逆，則；

(5)當且僅當存在可逆矩陣使得(其中表示階單位矩陣)時，；

(6)若為方陣(即)，則與可逆等價；

(7);

(8);

(9),

推廣到多個矩陣的情況，即；

(10)若，則;

考慮域上的矩陣，其描述的線性映射記為：

(1)當且僅當(即矩陣列滿秩序列時，是單射；

(2)當且僅當(即矩陣行滿秩)時，是滿射；

(3)矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（即秩-零化度定理）。

向量組的秩的性質

(1)矩陣的秩等於它的列向量組的秩，也等於他的行向量組的秩；

(2)向量能由向量組線性表示的充要條件是;

(3)向量組能由向量組線性表示的充要條件是

(4)若向量組能由向量組線性表示，則;

(5)向量組線性相關的充要條件是，其線性無關的充要條件是;

計算矩陣A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯演演算法生成的A的行梯陣形式有同A一樣的秩，它的秩就是非零行的數目。

例如考慮 4 × 4 矩陣

我們看到第 2 縱列是第 1 縱列的兩倍，而第 4 縱列等於第 1 和第 3 縱列的總和。第1 和第 3 縱列是線性無關的，所以A的秩是 2。這可以用高斯演演算法驗證。它生成下列A的行梯陣形式：

它有兩個非零的橫行。

在應用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效的替代者是奇異值分解(SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自 SVD 的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和應用二者。

解線性方程組

記線性方程組的係數矩陣為，增廣矩陣為，則

(i)，方程組有惟一解；

(ii)，方程組有無窮解；

(iii)，方程組無解。

判斷向量組的線性相關性

參見“性質”一節。

其它

在解析幾何中，矩陣的秩可用來判斷空間中兩直線、兩平面及直線和平面之間的關係；

在控制論中，矩陣的秩序可以用來確定線性系統是否為可控制的（或可觀察的）。