大行星運動理論

人們自古就注意到了金星、木星、水星、火星、土星五大行星在天上的運動。古代巴比倫人已經相當準確地知道行星的公轉周期，並把觀測到的運動用經驗公式表示出來。中國也很早就測定了行星的公轉周期和會合周期，在馬王堆出土的帛書中就有這方面的記載。稍後，希臘人用幾何方法來解釋行星的運動，公元二世紀時出現的托勒密地心體系就是這些學說的代表。這個體系在歐洲天文學中統治了14個世紀之久，直到哥白尼的日心體系出現后，才把被顛倒了的太陽和地球的位置重新顛倒過來。不過，哥白尼也還未能擺脫圓周運動的舊觀念。十七世紀初期，開普勒系統地分析了第谷的觀測結果，發現行星繞太陽運行的軌道不是圓，而是橢圓，並歸納出著名的行星運動三大定律（見開普勒定律）。他相當準確地揭示了行星運動的規律。根據這些定律已能解釋當時所知的行星運動現象，並把推算行星位置的精度提高到1'～2'。但是，開普勒定律畢竟只是對行星運動現象的概括描述，還不能對這種現象作出動力學的解釋。開普勒本人也發現，他的理論並不能滿意地解釋木星和土星的運動。

1687年，牛頓發現了著名的萬有引力定律，為行星運動現象作出動力學的解釋。按照牛頓的理論，行星若只受太陽引力的作用，則它的運動就遵循開普勒定律，只是開普勒第三定律還應作微小的修正。實際上，行星不僅受到太陽引力的作用，而且還受到其他行星引力的影響，所以行星的運動情況相當複雜。直到今天，人們還不能得到行星運動方程的嚴格解。在十八、十九世紀，由於航海定位等實用需要，一些國家先後出版天文航海曆書，加上分析方法的發展，建立行星運動方程近似解的分析理論就成為當時天體力學的一個主要課題。很多傑出的數學家都在這方面進行研究，並取得很大的成就。在太陽系中，太陽質量比行星大千倍以上，因而太陽對行星的引力遠比行星相互間的引力大。在求行星運動方程的近似解時，通常可從二體問題出發，研究真實軌道運動對橢圓運動的偏離，求出攝動的分析表達式。這樣，不但便於計算行星在較長時間內的具體位置，也可以了解行星軌道運動的一些性質。

研究行星的軌道運動，還可以反過來探求影響其運動的物理機制。在這方面有兩個著名的事例。其一是海王星的發現。自從1781年F.W.赫歇耳（見赫歇耳一家）在系統的巡天觀測中發現天王星以來，人們察覺到在這顆新行星的運動中有一些無法解釋的不規則性。半個世紀以後，J.C.亞當斯和勒威耶各自分析了天王星的運動，斷定有一顆未知的行星在影響它的軌道，並且以驚人的精度指出新行星在天空中的位置。1846年，終於在他們指出的位置發現了海王星。其二是水星近日點進動問題。勒威耶發現水星近日點每世紀有38″的反常進動，不能用萬有引力定律解釋。稍後紐康更精確地測定這個差值為43″。這就引起人們的種種猜測，有人認為萬有引力定律中的平方反比規律有問題，有人則認為這種現象是由一顆未知的水內行星的攝動引起的，但所有這些猜測都未能成立。直到二十世紀初，愛因斯坦發表廣義相對論，才解開了這個疑團。

拉格朗日確立了研究行星運動的方法。他把行星的真實軌道看作是一系列不斷變動的橢圓，並推導出橢圓軌道要素隨時間變化的微分方程組，可以用逐次近似法將這方程組進行積分而得到軌道要素的分析表達式。在這些表達式中，含有和時間 t成正比的項，稱為長期項或長期攝動。長期項反映出軌道要素的變化趨勢。其中，半長徑 a和偏心率 e的長 期攝動，在研究太陽系穩定性方面占重要地位。表達式中其他各項都是 t的周期函數。它們又可分為短周期項和長周期項。如果兩行星的平均角速度 n和 n┡的比值很接近簡單分數，就會出現周期很長且係數特大的長周期攝動。在木星和土星的相互攝動中就出現這種情況，它們的平均角速度比值接近5:2，因而產生顯著的長周期攝動，對木星為1，196″，對土星達到2，908″，周期約為890年。

計算行星位置更方便的方法是直接研究行星坐標的攝動。在這類方法中，最有名的是拉普拉斯和紐康的方法。十九世紀紐康建立的內行星運動理論，兼有軌道要素攝動和球坐標攝動法的特點，把軌道要素表示為時間的多項式，求出相應的橢圓坐標后，再加上黃經、黃緯和向徑的周期攝動。直到，各國天文年曆仍然根據紐康理論編算內行星的歷表。用漢森方法研究大行星運動也很有效。這種方法假定行星在密切平面上作橢圓運動，計算其平近點角、向徑和軌道平面的攝動。希爾用漢森方法建立了木星和土星的運動理論。

大型快速計算機的出現，使數值方法得到廣泛的應用。1951年埃克特等對五顆外行星的運動方程同時進行數值積分，計算了它們在1653～2060年間的日心坐標，這套歷表為各國天文年曆所採用。其後又陸續出現了多種更為精密的數值歷表，供行星際探測使用。克萊門斯最早利用電子計算機研究行星普遍攝動來建立火星理論。他根據經典的漢森方法，利用電子計算機演算，考慮到二階和部分三階攝動，精度達到0獎02～0獎03，已能符合現代觀測的要求。以後，考慮電子計算機的特點，在方法上又有新的發展。比如，用迭代法代替經典的、按攝動天體質量展開的方法，可使逐次近似過程最大程度自動化，並達到較高的精度。

人類在很早的時候，就開始了行星運動規律的研究。開普勒是日心說的擁護者，他認為日心說是十分和諧又極為簡明的，他的終生願望就是完善日心說。開普勒於1600年成為丹麥天文學家第谷、布拉赫的一名助手，首先承擔了準確地確定火星運行軌道的任務，在當時已經發現的六大行星中，火星的軌道的圓偏離最大，於是，他立志要闡明火星軌道的形狀。

開普勒首先研究了地球的軌道，因為生活在地球上的觀察者對於某一 時刻地球在宇宙間的相對位置處於無知狀態，也就無法確定其他行星的位置與軌道形狀。在研究地球軌道的形狀時，開普勒選擇了當地球、火星和太陽位於宇宙間同一直線上時開始觀察，經過一個火星年（即687天）后，火星將回到它本身軌道上的同一點，而地球卻沒有回到它本身軌道的同一點。但是，從地球上看太陽和火星的方向，並以恆定作參照物，指向太陽和火星的視線的交點就是地球的位置。在研究了幾組每隔一個火星年所作的觀察數據以後發現，地球的軌道是近似於圓的橢圓形，太陽稍微偏離圓心。

在確定了地球的軌道形狀和運行周期以後，開普勒開始研究火星的軌道。他再次利用了每隔一個火星年的觀察數據。一個火星年比兩個地球年的時間小（一個火星年是687天，兩個地球年是730天），因此，在一個火星年的始末兩個時刻，從地球指向火星的視線方向是不同的，這兩條視線的交點正是火星在軌道上的一點。根據這樣的方法可以確定火星軌道的許多點，通過這許多點所描的曲線正是一個橢圓。

開普勒還發現：大陽是在這個橢圓的一個焦點上，另一個焦點空著。開普勒綜合這些研究終於發現了行星運動的一條規律——開普勒第一定律：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動，太陽是在這些橢圓的一個焦點上。丹麥天文學家第谷·布拉赫對行星位置進行了廿年的測量工作，積累了大量的數據，這些數據為開普勒的研究打下了堅實的基礎。

開普勒根據第谷的一年中每天太陽表現位置的記錄，把這些記錄數據所表示的位置畫在地球的橢圓形軌道上，他就能確定地球沿軌道的運行速率，在開普勒的地球圍繞太陽的運行圖上（圖3）發現，地球距太陽最近時運動最快，地球距太陽最遠時運動最慢。從圖3中可以看出，地球從A點到B點的時間等於它從C點到D點的時間，但AB弧長大於CD弧長，由此可見，上面所得到的結論是十分明顯的。

開普勒是繼哥白尼之後第一個站出來捍衛太陽中心說、並在天文學方面有突破性成就的人物，被後世的科學史家稱為“天上的立法者”。開普勒之所以留名青史的原因，是因為他發現了著名的《開普勒行星運動三大定律》，這些定律是在沒有光學儀器的時代中，最後的重大發現。

在他繼承了第谷的事業后，他對第谷留下來的資料進行計算。對火星軌道的研究是開普勒重新研究天體運動的起點。因為在第谷遺留下來的數據資料中，火星的資料是最豐富的，而 哥白尼的理論在火星軌道上的偏離最大。起先他仍按照傳統觀念，假設行星進行的是勻速圓周運動，但是用正圓編製火星的運行表，火星老是出軌。他便將正圓改為偏心圓。在進行了無數次的試驗后，他找到了與事實較為符合的方案。可是，依照這個方法來預測衛星的位置，卻跟第谷的數據不符，產生了8分的誤差。這8分的誤差相當於秒針0.02秒瞬間轉過的角度。這樣子的誤差在很多人眼裡可能微不足道，但開普勒絕對的相信他老師所遺留的觀測資料，於是他決定不用圓軌道來計算行星位置，而改用其他的圓錐曲線。在進行了多次實驗后，開普勒將火星軌道確定為橢圓，並用三角定點法測出地球的軌道也是橢圓，斷定它運動的線速度跟它與太陽的距離有關，使計算值與觀測值有了相當好的吻合。按開普勒的說法〝就憑這8'的差異，引起了天文學全部的革命〞。

而將其總結，就是開普勒第一運動定律：

“行星軌道為橢圓，太陽在其任一焦點上”

這個定律將哥白尼學說推進了一大步。

而第二定律與第一定律幾乎同時發現：

“行星的向徑（行星與太陽的連線）在單位時間內掃過的面積相等。”

這也就是說，行星在近地點公轉得較快，在遠地點公轉得較慢。換而言之，行星的運動並不是勻速的。綜合第一及第二定律，人們可以知道，行星並不是象人們以往所想象的那樣在進行勻速圓周運動。這一定律進一步推翻了唯心主義的宇宙和諧理論，指出了自然界的真正的客觀屬性。

在發現這兩條定律后，開普勒繼續他的工作，在幾年之後，終於將第三定律完整的呈世人眼前：

“行星公轉周期的平方正比於軌道半長軸的立方”

這一定律揭示了太陽的所有行星軌道半長軸的立方與周期的平方比值為同一個常數的規律，將太陽所有行星的運動聯繫了起來，將太陽系變成了一個統一的物理體系。後來這一定律又被推廣到了對於任意的同一中心天體（恆星、行星）它們的所有環繞天體的軌道半長軸的立方與周期平方的比值為常數。

這三條定律所揭示的，是一個力學的新境界，也是天體力學的成功。哥白尼學說認為天體繞太陽運轉的軌道是圓形的，且是勻速運動的。開普勒第一和第二定律恰好糾正了哥白尼的上述觀點的錯誤，對哥白尼的日心說做出了巨大的發展，使"日心說"更接近於真理。更徹底地否定了統治千百年來的托勒密地心說。開普勒還指出，行星與太陽之間存在著相互的作用力，其作用力的大小與二者之間的距離長短成反比。

開普勒不僅為哥白尼日心說找到了數量關係，更找到了物理上的依存關係，使天文學假說更符合自然界本身的真實。開普勒在完成三大定律時曾說道：“這正是我十六年前就強烈希望探求的東西。我就是為了這個目的同第谷合作的……大勢已定！書已經寫成，是被人讀還是後代有人讀，於我卻無所謂了。也許這本書要等上一百年，要知道，大自然也等了觀察者六千年呢！”

開普勒在其一生中，卻無法對這行星運動定律做出解釋。一是因為當時的數學工具不足，另一個原因是他的生命沒那麼長。但是開普勒也對於重力的存在做出了猜測，事實上，這行星運動定律正是牛頓力學在天體力學的展現，而這定律在科學史上之所以如此舉足輕重，就是因為這三大定律導致了數十年後牛頓重力理論的發現。