信息安全數學基礎

對稱密碼演演算法高級加密標準AES和公鑰密碼演演算法RSA、DSA以及SM2、ECDSA等在信息安全領域被廣泛使用. 本書以幫助讀者學習和理解這些密碼演演算法為目標，以直接明了、淺顯易懂的方式，介紹掌握這些演演算法所需具備的初等數論中同餘和原根，近世代數中群、環、域的基礎知識以及橢圓曲線的基礎知識.

本書可作為高等學校信息安全本科生的教材，特別適合自學密碼演演算法所基於的數學基礎理論知識的人員參考.

• 第1章 整數的可除性 1

• 1.1 整除 1

• 1.2 最大公因數 4

• 1.2.1 帶余除法 4

• 1.2.2 最大公因數 5

• 1.2.3 歐幾里德演演算法 7

• 1.3 最小公倍數 13

• 1.4 算術基本定理 15

• 習題1 16

• 第2章 同餘 18

• 2.1 同餘的基本性質 18

• 2.2 完全剩餘系 22

• 2.3 簡化剩餘系 26

• 2.4 歐拉函數 29

• 2.5 歐拉定理 31

• 2.6 Fermat(費馬)小定理及應用 33

• 2.6.1 費馬小定理 33

• 2.6.2 MillerRabin素性檢測演演算法 34

• 2.7 模冪運算 35

• 2.7.1 模重複平方計演演算法 35

• 2.7.2 平方乘計演演算法 37

• 習題2 39

• 第3章 一次同餘方程 40

• 3.1 一次同餘方程 40

• 3.1.1 同餘方程 40

• 3.1.2 解一次同餘方程 40

• 3.2 一次同餘方程組 45

• 3.2.1 中國剩餘定理 45

• 3.2.2 同餘方程的解數 49

• 3.2.3 擴展閱讀 50

• 3.3 密碼學中的應用 52

• 3.3.1 密碼學的基本概念 52

• 3.3.2 仿射密碼演演算法 52

• 3.3.3 RSA公鑰密碼演演算法 54

• 3.3.4 單向函數 58

• 3.3.5 中國剩餘定理用於RSA解密 59

• 習題3 59

• 第4章 二次同餘 61

• 4.1 二次同餘方程 61

• 4.2 Legendre（勒讓得）符號 64

• 4.3 擴展閱讀 69

• 習題4 71

• 第5章 原根和離散對數 73

• 5.1 原根和階 73

• 5.1.1 原根和階的定義 73

• 5.1.2 原根和階的性質 74

• 5.1.3 素數的原根 79

• 5.2 離散對數 80

• 5.3 離散對數在密碼學中的應用 81

• 5.3.1 ElGamal密碼演演算法 82

• 5.3.2 數字簽名標準的參數選取 83

• 習題5 83

• 第6章 近世代數基礎 85

• 6.1 群 85

• 6.1.1 群的基礎知識 85

• 6.1.2 循環群 88

• 6.1.3 同態與同構 90

• 6.2 環 91

• 6.2.1 環 91

• 6.2.2 一元多項式環 93

• 6.3 有限域 93

• 6.3.1 域的定義 93

• 6.3.2 域上的一元多項式 94

• 6.3.3 域上一元多項式的運算規則 95

• 6.3.4 一元多項式的整除 96

• 6.3.5 域中的一元多項式的帶余除法 97

• 6.3.6 多項式的公因式 97

• 6.3.7 不可約多項式 99

• 6.3.8 多項式同餘 100

• 6.3.9 一種構造有限域的方法 101

• 6.4 在高級加密標準（AES）中的應用 103

• 6.5 擴展閱讀 106

• 習題6 107

• 第7章 橢圓曲線基礎 108

• 7.1 橢圓曲線概述 108

• 7.2 域Fp上的橢圓曲線 108

• 7.3 域F2m上的橢圓曲線 115

• 7.4 在密碼學中的應用 119

• 習題7 120

• 參考文獻 122

• 後記

【28頁】【定理2.3.4】的證明，如果使用【定理2.3.3】進行證明更方便理解，雖然書上的證明也沒有錯。

【81頁】【定理5.2.1】中，r≡inda(modφ(m))的理解是r≡(inda)(modφ(m)).

【81頁】【例5.2.2】是一個驗證性的例題。

• 作者雖然很小心校對，但在使用過程中還是發現了一些錯誤，給讀者閱讀帶來了不便，特別開設糾錯項，讓大家一起糾錯，以便再版時更正。在此向讀者表示歉意，也向糾錯的讀者表示感謝！

• 【74頁】倒數第7行，4≡-1(mod15)，應該為4≡1(mod15)

• 【97頁】第6行 應當為： f(x)=q(x)g(x)+r(x),r(x)=0或者deg r(x)

• 【101頁】【定理6.3.7】中， a+ax+ax+...+ax,少了“...+”。

• 【102頁】倒數第5行應當為：≡1（mod f(x))

• 【102頁】【例6.3.25】題目的最後，應該是：求h(x)⊕g(x).

• 【104頁】第10行中 由定理6.3.8可知 應當為：定理6.3.7可知

• 【107頁】習題6 第3題 應當為：找出 上所有次數為5的不可約多項式.

• 【119頁】最後一行的最後面：{α，β}是公鑰 應當為 {β，G}是公鑰