非線性物理

上一世紀初量子力學和相對論的發現，因為提出了突破人們傳統思維的新概念，將人類的世界觀推進到超越經典的領域，而被公認為是物理學或更確切地說是科學的兩次革命。牛頓創立的經典力學被發現並不始終是正確的。當深入到微觀尺度（<10-8cm），應該取代為量子力學，當物體的速度接近於光速（～10 10cm/s），則相對論是正確的。

非線性科學，目前有六個主要研究領域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自動機，和複雜系統。而構築多種多樣學科的共同主題乃是所研究系統的非線性。

一個系統，如果其輸出不與其輸入成正比，則它是非線性的。例如一個介電晶體，當其輸出光強不再與輸入光強成正比，就成為非線性介電晶體。例如彈簧，當其位移變得很大時，胡克定律就失效，彈簧變為非線性振子。又例如單擺，僅當其角位移很小時，行為才是線性的。實際上，自然科學或社會科學中的幾乎所有已知系統，當輸入足夠大時，都是非線性的。因此，非線性系統遠比線性系統多得多，客觀世界本來就是非線性的，線性只是一種近似。任何系統在線性區和非線性區的行為之間存在顯著的定性上的差別。例如單擺的振蕩周期在線性區不依賴於振幅，但在非線性區，單擺的振蕩周期是隨振幅而變的。

從數學上看，非線性系統的特徵是迭加原理不再成立。迭加原理是指描述系統的方程的兩個解之和仍為其解。迭加原理可以通過兩種方式失效。其一，方程本身是非線性的。其二，方程本身雖然是線性的，但邊界是未知的或運動的。

對於一個非線性系統，哪怕一個小擾動，象初始條件的一個微小改變，都可能造成系統在往後時刻行為的巨大差異。迭加原理的失效也將導致Fourier變換方法不適用於非線性系統的分析。因此，系統的非線性帶來系統行為的複雜性。對於非線性系統行為的解析研究是相當困難的。

更進一步，在許多情況下，對於我們所要研究的系統，方程是未知的，或甚至可能根本不存在。從分形圖樣生長的簡單的擴散限制聚集模型，到象股票市場那樣的複雜經濟系統，我們可以舉出無數寫不出方程的非線性系統的例子。

混沌是非線性系統的最典型行為，它起源於非線性系統對於初始條件的敏感依賴性。混沌現象早在上世紀初就已經被法國學者彭加勒所發現，後來又被許多數學家所仔細研究。

而學術界近年來對於混沌的特別關注，則起始於七十年代，這是因為美國人費根保姆發現了一些象平方函數重複迭代的很大一類簡單映射系統居然具有普適的性質。例如倍周期分叉到混沌的道路，分叉參數的漸近收斂比值，分叉的幾何特徵具有普適標度性等等。而費根保姆工作則是受到了美國氣象學家洛倫茲與氣象預報有關的重要然而朦朧的工作的啟示。

對於混沌系統的如下兩個發現特別有意義。其一，人們發現一個決定論性系統的行為當處於混沌狀態時似乎是隨機的。僅僅這一發現就迫使所有的實驗家要重新考察他們的數據，以確定某些曾經歸於雜訊的隨機行為是否應該重新確定為是由於決定論性混沌而產生的。

其二，人們發現很少自由度的非線性系統，就可能是混沌的而表現為相當複雜。這一發現給我們以這樣的啟示：許多真實系統中所觀察到的複雜行為其實有一個簡單的起源，那就是混沌。當然，混沌僅僅是複雜性的起源之一，還存在並非來源於混沌的更複雜的複雜性。

決定論性混沌的真實系統（例如氣候）的行為具有明顯的不可預測性。這一是由於系統對於初始條件的敏感依賴性；二是由於我們在實際中只能近似地測量或確定系統的初始條件，因為任何測量儀器都只具有有限的解析度。這兩個根本困難排除了對於任何混沌的真實系統作出長期預報的可能。

但從另一方面看，一個被確認為決定論性混沌的系統，在看起來非常複雜的行為中，卻蘊藏著秩序，因而進行短期預報是可能的。問題在於：如何確定複雜現象的背後是否存在決定論性混沌的起源？又，如何對一個混沌系統的行為進行短期預報？對於氣象或股票市場一類系統，由於不可逾越的複雜性，描寫這類系統的完全方程組，即使是存在的，也決無辦法知道。或者，即使我們能寫出所有相關的方程組，也不可能有足夠強大功能的計算機來求解這些方程組。但是從實用的角度考慮，往往只需要對這類系統作一次成功的短期預報。

例如，為了在股票市場上賺錢，炒股者其實只需要能夠預測明天或下一周股票的漲跌趨勢，而不必知道市場的整個長時間的漲落規律。又例如，如果地球岩石圈的動力學系統被證明具有決定論性的成分，則地震的預測並非完全不可能，而與地震的中長期預報相比較，對某一地區的地震進行短臨預報，對於人們的防震更有意義，所以，複雜系統行為的短期預測已經變成混沌的最令人感興趣的一個應用。

混沌的另一個重要應用是混沌的控制。這一應用基於如下事實：有許多不穩定周期軌道嵌入在奇怪吸引子內，我們可以根據需要通過對系統施加一個小擾動的方法使其中之一穩定並將混沌系統驅動到這一穩定周期軌道狀態。這一技術已經被成功地應用於各種機械的、電子的、激光的、化學的系統和心臟組織的控制上。

自然界中的大多數特殊結構是由大量相同組元自組織集結而成的。通過某種簡單的稱之為組織的構造法就可以出現自集結過程。兩種最簡單的構造法是所謂規則性構造法和隨機性構造法。

採用規則性構造法，所有組元就排列成為周期或准周期方式而構造成例如晶體與合金等等。採用隨機性構造法而形成的結構（或非結構）的例子有氣體和動物毛髮的分佈等等。而在這兩種極端的構造法之間，則有自相似構造法，這將產生稱為分形的自相似結構。在一個分形中，系統的局部與整體相似。分形通常具有分數維數。許多分形還可能是不同分數維的分形的集合，故稱為多重分形。分形和多重分形的名詞，是上世紀八十年代由曼德勃羅特首先提出的。現在，分形在自然界和數學系統中的廣泛存在性已被人們普遍認識。

例如：凝聚體和膠體、樹木、岩石、山脈、雲彩、星系、粗糙的表面和界面、聚合物和股票市場，無不存在分形。而耗散動力系統中的混沌就表現為相空間中具有分形結構的奇怪吸引子。奇怪吸引子本身及其吸引域都可能是分形。混沌與分形之間的這種聯繫至今尚未被充分理解。

分形系統的最典型性質是缺少空間的特徵尺度。這一性質可以有三種等價的表達方式：拓樸自相似性，空間的冪函數律，和標度不變性。類似的，系統中不存在時間的特徵尺度將導致時間的冪函數律，例如，1/f 雜訊。為了解釋分形和無特徵尺度行為在非平衡系統中的廣泛存在性，丹麥人巴克和中國學者湯超等在1987年提出了自組織臨界性假設，現在人們知道，自組織臨界性假設不僅適用於沙堆，也適用於許多自然系統和社會系統。

人們早就注意到河流、樹枝、葉脈、和閃電所形成的分枝之間有驚人的相似性。這些分枝的斑圖與在雲彩和海藻類群落中所觀察到的緊緻斑圖顯然不同。大自然是如何生成這些斑圖的？這些不同斑圖模式的形成是否存在一種簡單的原理或普適的機制？目前還找不到對於這些問題的最終回答，但最近二十年來在這方面的研究已經取得可喜的進展。

混沌理論的成功也開啟了複雜性科學的研究之門。在七八十年代，當人們認識了混沌之後，對於從自然系統和社會系統中獲得的各種時間序列，莫不用混沌動力學來進行分析，檢驗其中的決定論性成分，重構其相空間，甚至建立預測模型。混沌理論的成功，打破了人們的一個心理障礙：沒有一個複雜系統因為太複雜而不可觸摸。人類已經到了直面複雜系統，攻克複雜性難題的時代。

複雜性科學所研究的論題跨越非常大的範圍，它包括人類語言、生命起源、計算機、演化生物學、經濟學、心理學、生態學、免疫學，和自旋玻璃、DNA、蜂群、地震以及各種非平衡系統的自組織等等。目前尚無複雜系統的確切定義，這表明複雜性科學尚處於一個新研究領域的萌芽階段。儘管已經發現象諸如複雜自適應系統和對稱破缺等一般性概念可以用來相當好地描述一大類複雜系統，但目前還缺乏可以描寫所有複雜系統的統一理論。然而有兩種簡單的思想能夠解釋許多複雜系統的行為。其一是自組織臨界性，其二是所謂活躍行走原理。自組織臨界性理論斷言：許多大的動力學系統存在一種趨勢，它會驅動自身到一種沒有特徵空間尺度和特徵時間尺度的臨界狀態。而活躍行走原理則描述了複雜系統中的單元是如何通過與所共享的位形的相互作用而與其環境和在彼此之間溝通。活躍行走原理已經被成功地應用於諸如介電擊穿模式、玻璃中的離子輸運和螞蟻在食物搜尋時的合作等等非常不同的問題的研究。

以上所概要的非線性動力學系統的物理或科學包含有序和無序的相互影響，也涉及簡單和複雜的交錯。但從數學和處理方法上看，產生所有那些迷人的結果的原因乃是系統的非線性。客觀世界本來就是非線性的、複雜的。非線性物理就是一門以非線性系統的普遍規律及客觀世界的複雜性本身為研究對象的學科，它在上一世紀八十和九十年代蓬勃發展，也將成為新世紀物理學研究的最前沿。

近二十年來，許多國外著名的大學和研究所紛紛成立非線性科學和複雜性科學的研究中心。許多專門刊登非線性物理和複雜性科學研究論文的國際新期刊也應運而生。在我國，對於非線性和複雜性科學的研究，國家科委和國家自然科學基金委也給以大力的支持和扶植。國家攀登計劃《非線性科學》自立項以來，已經歷八五和九五階段，從2001年起更被列為國家重大基礎研究發展規劃（973計劃特別經費資助）項目。非線性科學的概念和方法現在已經滲透到科學技術的幾乎所有領域，甚至包括經濟、人文和社會科學的各個領域。非線性科學的概念、理論、方法和應用已經成為科技工作者的必備基礎知識。