分岔理論

研究分岔現象的特性和產生機理的數學理論。對於某些完全確定的非線性系統，當系統的某一參數μ連續變化到某個臨界值μc時，系統的全局性性態（定性性質、拓撲性質等）會發生突然變化。μc稱為參數μ 的分岔值或分枝值。這種現象稱為分岔現象，是一種有重要意義的非線性現象。分岔現象不僅是數學現象，它在自然界中也有種種表現。早期，除了數學理論的研究外，通過數字計算機進行的數值實驗是研究非線性微分方程中的分岔現象的主要手段。20世紀80年代前後，關於分岔的真正的實驗觀測也已在迅速增加。

早在19世紀，C.雅可比、H.龐加萊等人就已引進“分岔”這一術語。迄今已出現了許多關於分岔理論的著作，其中除大量的數學文獻外，在彈性結構、流體力學、天體物理學、化學反應、非線性振動、生物發育、基本粒子理論等領域中有關分岔現象的文獻數量也很多。在系統與控制理論中，分岔理論可以用來探討非線性系統中分岔現象的產生和消失、分岔性失穩的出現和控制以及分岔性失穩系統的調節和控制等問題。分岔理論也為協同學、耗散結構理論、數學生態學提供了有用的工具。20世紀70年代後期關於混沌現象和奇異吸引子的研究結果表明，連續發生的分岔現象往往是出現混沌現象的先兆。混沌現象是比分岔更為複雜的一類非線性現象。它不是簡單的無序和混亂狀態，而是沒有明顯的周期和對稱、卻具備豐富的內部層次的有序狀態。分岔理論對許多實際系統的研究有重要意義。

從數學角度來說，分岔理論主要研究非線性方程(微分方程、積分方程、差分方程等)中的參數對解的定性性質的影響。其中，參數與解的穩定性、周期性、平衡位置等基本性質的關係是研究的重點。早在1885年，龐加萊就提出了一套平面動力學系統的平衡狀態與參數的關係的理論。他研究了參數通過分岔值時系統軌線的拓撲結構的變化狀況，建立了相應的判別準則。20世紀50年代，蘇聯學者A.A.安德羅諾夫推廣了龐加萊的結果，並在非線性振動理論中加以應用。後來，又有人研究高維歐幾里德空間或巴拿赫空間中的分岔理論，但結果還不多。