矩陣論

叢書名：研究生公共課程數學系列教材

本書從線性代數的基礎理論出發，較全面、系統地介紹矩陣的基本理論、方法和某些應用，主要包括線性代數基礎、矩陣分解、范數理論及其應用、矩陣分析、特徵值的估計、廣義逆矩陣、非負矩陣和Kroneker積與矩陣方程等內容。各章均配有一定數量的習題，書末附有答案與提示。

本書適合大學數學、力學和計算機等理工科專業的本科生，以及理工科各個專業的碩士研究生使用，也可供從事科學計算機的科技工作者參考。

第一章 線性代數基礎

第一節 線性空間

一、線性空間的定義

二、線性空間的維數、基與坐標

三、基變換與坐標變換

四、子空間

第二節 線性變換

一、線性變換的定義

二、線性變換的矩陣

三、特徵值與特徵向量

四、線性變換的值域、核及不變子空間

第三節 內積空間

一、內積空間的定義

二、標準正交基

三、正交補與投影定理

第四節 Tordan標準形介紹-

習題一

第二章 矩陣分解

第一節 三角分解

第二節 滿秩分解

第三節 QR分解

一、Householder矩陣與Givens矩陣

二、QR分解

第四節 Schur分解與譜分解

第五節 奇異值分解

習題二

第三章 范數理論及其應用

第一節 向量范數

一、向量范數的定義

二、向量范數的等價性

第二節 矩陣范數

一、矩陣范數的定義

二、誘導范數

第三節 范數的簡單應用

一、矩陣的譜半徑

二、矩陣的非奇異性判定

習題三

第四章 矩陣分析

第一節 向量序列與矩陣序列的極限

第二節 矩陣冪級數

第三節 矩陣函數

一、矩陣函數的定義

二、矩陣函數值的求法

第四節 矩陣的微分與積分

第五節 矩陣分析應用舉例

一、一階線性常係數微分方程組

二、矩陣方程

習題四

第五章 特徵值的估計

第一節 特徵值界的估計

第二節 圓盤定理

第三節 Hermite矩陣特徵值的表示

第四節 廣義特徵值問題

習題五

第六章 廣義逆矩陣

第一節 廣義逆與線性方程組

第二節 廣義逆矩陣的定義

第三節 廣義逆矩陣的計算與性質

第四節 廣義逆矩陣與線性方程組的求解

一、相容方程組的極小范數解與廣義{1，4}-逆

二、矛盾方程組的最小二乘解與廣義{1，3}-逆及MP逆

習題六

第七章 非負矩陣

第一節 正矩陣

第二節 非負矩陣

第三節 本原矩陣

第四節 不可約非負矩陣

第五節 非負矩陣的最大特徵值的估計

習題七

第八章 Kronecker積與矩陣方程

第一節 Kronecker積的定義與性質

第二節 Kronecker積在解矩陣方程中的應用

一、矩陣拉直

二、線性矩陣方程

習題八

習題答案與提示

參考文獻