矩陣論

本書較全面、系統地介紹了矩陣理論的基本理論、方法和某些應用。全書共分10章，分別介紹了線性空間與內積空間、線性映射與線性變換、λ矩陣與Jordan標準形、初等矩陣與矩陣因子分解、Hermite矩陣與正定矩陣、范數理論與擾動分析、矩陣函數與矩陣值函數、廣義逆矩陣與線性方程組、Kronecker積與線性矩陣方程、非負矩陣與M矩陣等內容。本書內容豐富、論述嚴謹。各章後面配有一定數量的習題，有利於讀者學習和鞏固。

本書可作為理工科院校碩士研究生和高年級本科生的教材，也可作為有關專業的教師和工程技術人員的參考書。

第一章線性空間和線性映射

1.1數域

1.2線性空間

1.3線性空間的基

1.4線性子空間的相關結論

1.5線性映射與線性變換

1.6線性變換的不變子空間

1.7線性空間的同構

習題一

第二章內積空間

2.1歐氏空間與酉空間

2.2向量的正交與標準正交基

2.3正交子空間

2.4酉(正交)變換、正交投影

習題二

第三章矩陣的對角化、若當標準型

3.1矩陣對角化

3.2埃爾米特二次型

3.3方陣的若當標準型

習題三

第四章矩陣的分解

4.1矩陣的三角分解

4.2矩陣的uR分解

4.3矩陣的滿秩(最大秩)分解

4.4單純矩陣的譜分解

4.5矩陣的奇異值分解與極分解

習題四

第五章向量與矩陣的重要數字特徵

5.1向量范數

5.2矩陣范數

5.3矩陣范數與向量范數的相容性

5.4矩陣的測度

5.5矩陣特徵值的估計

5.6范數在數值分析中的應用

習題五

第六章矩陣分析

6.1向量序列和矩陣序列的極限

6.2矩陣級數

6.3克羅內克(Kronecker)積

6.4矩陣的微分

6.5矩陣的積分

習題六

第七章矩陣函數

7.1矩陣多項式

7.2由解析函數確定的矩陣函數

7.3矩陣函數的計算方法

習題七

第八章矩陣的廣義逆

8.1Moore—Penrose逆(M—P逆)

8.2具有指定的值域和零空間的{1，2}逆

8.3群逆

8.4廣義逆與線性方程組

習題八

參考文獻

矩陣論簡史

矩陣概念和線性代數學科的引進和發展是源於研究線性方程組係數而產生的行列式的發展。萊布尼茲，微積分學的兩個奠基者之一，在1693年使用了行列式,克萊姆於1750年提出了用行列式求解線性方程組的公式(即今天著名的克萊姆法則).相對比地，行列式的隱含使用最早出現在18世紀晚期拉格郎日關於雙線性型的著作里。拉格郎日希望刻畫多變數函數的極大值與極小值。他的方法今天以拉格郎日乘數法聞名。為此，他首先要求第一個偏導數為0,再需要關於第二個偏導數的矩陣成立一個條件。這個條件今天稱之為正定或負定，儘管拉格郎日沒有明顯地使用矩陣。

在1800年左右,高斯發現了高斯消去法，他用此方法解決了天體計算和後來大地測量(關於測量或確定地球形狀或定位地球表面一個點的應用數學分支，稱之為大地測量學)計算中的最小平方問題。儘管高斯的名字相伴隨從線性方程組逐次逍去變數的這項技術，但從發現的早在幾個世紀前的中文手稿中解釋了如何用"高斯的"消去法解帶有三個未知量的三個方程構成的線性方程組。多年來，高斯消去法被認為是大地測量學，而非數學，發展的一部分。首次印刷出來的高斯—約當消去法是在W.約當寫的關於大地測量學的手冊里。許多人錯誤地認為著名數學家C.約當是"高斯—約當"消去法中的約當。為了矩陣代數的豐富發展，人們既需要適當的概念，還需要適當的矩陣乘法。

這兩種需要在同一時間和同一地點交匯了。在1814年於英格蘭,J.J.西勒維斯特首先引進了術語"Matrix",作為一列數的名稱，這是胚胎的拉丁詞。矩陣代數於1855年由亞瑟凱萊的工作得到了發展。凱萊研究了線性變換的合成，導致定義了矩陣乘法，使得合成變換ST的係數矩陣是S的矩陣與T的矩陣的乘積。他繼續研究這些合成包括矩陣逆的代數。著名的凱萊—哈密爾頓定理斷言，一個方陣是它的特徵多項式的根。這個定理於1858年在凱萊的"關於矩陣理論備忘錄"的著作里給出。代表矩陣的單個字母A的使用對於矩陣代數的發展是關鍵的。早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩陣代數與行列式的聯繫。凱萊寫下了"有許多事情說明關於矩陣的理論，似乎對我而言，比行列式理論重要"。

數學家們也試圖發展向量代數，但沒有任意維數的兩個向量積的自然定義。涉及到非交換向量積(亦即VW×不一定等於WV×)的第一個向量代數由赫爾曼格拉斯曼在他的書"維數理論"(1844)提出來的。格拉斯曼的書也引進了一個列矩陣與一個行矩陣的乘積，導致了今天所謂的單純的或秩1的矩陣。在19世紀晚期,美國數學物理學家W.吉布斯發表了關於向量分析的著名論文。在那篇論文里，吉布斯把一般的矩陣，他稱之為並向量(dyadics),表示為單純矩陣(吉布斯稱為並向量(dyads))的和。後來物理學家P.A.M.迪拉克引進了術語

"行-列"(bra-ket)來表示我們現在稱之為行向量乘以列向量的純量積，術語"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的積，從而導致如同上面的我們現在稱做的單純矩陣。我們現在把列矩陣和向量視為同一的習慣是由物理學家們在20世紀引進的.

矩陣一直與線性變換緊密結合著。直到1900年，它們僅僅是線性變換理論的有限維的情形。向量空間的現代定義是由皮亞諾於1888年引進的。不久，其元素是函數的抽象向量空間跟著出現了。

第二次世界大戰后隨著數字計算機的發展，矩陣，特別是矩陣的數值分析方面有新的進展。約翰馮諾伊曼和赫爾曼戈德斯坦於1947年在分析舍入誤差中引進了條件數。阿蘭圖靈和馮諾伊曼在程序存儲計算機方面是二十世紀的巨人。圖靈於1948年引進了矩陣的LU分解,L是對角線上為1的下三角矩陣,U是梯形矩陣。在解一系列線性方程組時普遍採用LU分解，每個方程組有同一係數矩陣.QR分解的好處是在10年後認識到的.Q是其列為正交向量的矩陣而R是上三角矩陣，其對角線元素是正的.QR分解用於各種計算如解方程，找特徵值的計算機演演算法中。