相軌跡
相軌跡
相軌跡屬於控制理論，其的作圖方法可分為：解析法和圖解法。
目錄
相軌跡作圖方法
相軌跡的作圖方法可分為：解析法和圖解法，其中解析法主要針對可直接由方程求出 關係的、相對比較簡單的系統，而圖解法則針對不能直接由方程求出 關係的系統，原則上說，此法對任何非線性系統都適用，圖解法根據具體的作圖方法不同，可進一步分為等傾斜線法 , δ 法。下面介紹這三種方法。
1、解析法：
（A）直接法。即由式（ 8 － 16 ）直接求取 和 的關係。
（B）先分別求出 , 然後消去 t ，但大多數情況下，要消去 t 比較困難。
例如對於一線性二次系統： ，可分別採用上述兩種方法進行計算，有：
（ A ）
相軌跡為橢圓
（ B ） ， ，消去 t 后，結果與（ A ）相同。
2、等傾斜線法：
等傾斜線法的基本思想是：考慮相軌跡通過相平面上的點（ ），令 , 則 是常數，即為相軌跡通過該點的斜率，以該點處的斜線近似代替該點附近實際的相軌跡，並依此法光滑連接所有的短線段，即可得到系統的相軌跡，如圖 8 － 10 。具體繪製時，可先考慮斜率 固定，則有： (8-20)
式（ 8 － 20 ）表示相軌跡上斜率為 的各點的連線，此連線稱為等傾斜線。然後在這些等傾斜線上作出與其相應的短線段。在不同的等傾線上均畫出短線段，並進行光滑連接，就得到所求的相軌跡和相平面圖。
等傾線法有如下特點：
a) 在等傾線為直線時較方便．若為直線，則也可由 先畫出等傾線，然後再在各等傾線上畫出斜率為 的短線段。
3.法
基於將相軌跡近似認為由一系列園弧連接而成的思想。考慮系統：
(8-21)
令，則 (8-23)
在 附近，常數，則
（ 8 － 24 ）
其中： ；因此，在 相平面上 相軌跡是圓曲線，圓心位於（ ， 0 ），半徑 為（ ， 0 ）和（ ， ）兩點間的距離，即。
圖8－11
4 、由相軌跡求系統的時間響應
根據相平面的定義， (8-25)
對於有解析解的情況，在 上 時，應能求出時間 t ：
，
對於無解析解的情況，則可用園弧或相軌跡平均斜率近似計算 t ：
若在增量 範圍內，只要 比 的平均值小得多，即，則可用 近似，得到：
通過逐段計算，也可得到 的關係曲線。
5 、一階系統和特殊二階系統相軌跡
１）一階系統 一階系統的運動方程可寫成： (8-26)
在 ( ) 相平面上相軌跡是直線。根據 T 和 M 的不同取值，可得到圖 8-13 所示的相軌跡。
圖 8-13
2) 特殊二階線性系統 更一般的二階線性系統的運動方程形式： (8-27)
若令N=0，特殊形式的二階線性系統的運動方程可寫成： (8-28)
下面簡單分析在不同的M下的幾種特殊相軌跡。
1 ．拋物線： （無奇點） 2．園或橢園： （奇點為原點）直線： （奇點為平衡線，且與橫坐標平行。） α相線：
圖8-14 特殊形式的二階線性系統的特徵根和相軌跡