數學悖論

在古希臘時代，克里特島的哲學家埃庇米尼得斯（約公元前6世紀）發現的“說謊者悖論”可以算作人們最早發現的悖論。公元前4世紀的歐布里德將其修改為“強化了的說謊者悖論”。在此基礎上，人們構造了一個與之等價的“永恆的說謊者悖論”。埃利亞學派的代表人物芝諾（約490B.C.—430B.C.）提出的有關運動的四個悖論（二分法悖論、阿基里斯追龜悖論、飛矢不動悖論與運動場悖論）尤為著名，至今仍餘波未息。

在中國古代哲學中也有許多悖論思想，如戰國時期邏輯學家惠施（約370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、《莊子·天下篇》的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；《韓非子》中記載的有關矛與盾的悖論思想等，這些悖論式的命題，表面上看起來很荒謬，實際上卻潛伏著某些辯證的思想內容。

在近代，著名的悖論有伽利略悖論、貝克萊悖論、康德的二律背反、集合論悖論等。在現代，則有光速悖論、雙生子佯謬、EPR悖論、整體性悖論等。這些悖論從邏輯上看來都是一些思維矛盾，從認識論上看則是客觀矛盾在思維上的反映。

儘管悖論的歷史如此悠久，但直到本世紀初，人們才真正開始專門研究悖論的本質。在此之前，悖論只能引起人們的驚恐與不安；此後，人們才逐漸認識到悖論也有其積極作用。特別是20世紀60、70年代以來，出現了研究悖論的熱潮。

數學悖論作為悖論的一種，主要發生在數學研究中。按照悖論的廣義定義，所謂數學悖論，是指數學領域中既有數學規範中發生的無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的數學規範中得到解決。數學中有許多著名的悖論，除前面提到的伽利略悖論、貝克萊悖論外，還有康托爾最大基數悖論、布拉里——福蒂最大序數悖論、理查德悖論、基礎集合悖論、希帕索斯悖論等。數學史上的危機，指數學發展中危及整個理論體系的邏輯基礎的根本矛盾。這種根本性矛盾能夠暴露一定發展階段上數學體系邏輯基礎的局限性，促使人們克服這種局限性，從而促使數學的大發展。數學史上的三次危機都是由數學悖論引起的，下面作以簡要的分析。

畢達哥拉斯學派主張“數”是萬物的本原、始基，而宇宙中一切現象都可歸結為整數或整數之比。在希帕索斯悖論發現之前，人們僅認識到自然數和有理數，有理數理論成為占統治地位的數學規範，希帕索斯發現的無理數，暴露了原有數學規範的局限性。由此看來，希帕索斯悖論是由於主觀認識上的錯誤而造成的。

公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的成員希帕索斯（470B.C.前後）發現：等腰直角三角形斜邊與一直角邊是不可公度的，它們的比不能歸結為整數或整數之比。這一發現不僅嚴重觸犯了畢達哥拉斯學派的信條，同時也衝擊了當時希臘人的普遍見解，因此在當時它就直接導致了認識上的“危機”。希帕索斯的這一發現，史稱“希帕索斯悖論”，從而觸發了第一次數學危機。

希帕索斯的發現，促使人們進一步去認識和理解無理數。但是，基於生產和科學技術的發展水平，畢達哥拉斯學派及以後的古希臘的數學家們沒有也不可能建立嚴格的無理數理論，他們對無理數的問題基本上採取了迴避的態度，放棄對數的算術處理，代之以幾何處理，從而開始了幾何優先發展的時期，在此後兩千年間，希臘的幾何學幾乎成了全部數學的基礎。當然，這種將整個數學捆綁在幾何上的狹隘做法，對數學的發展也產生了不利的影響。

希帕索斯的發現，說明直覺和經驗不一定靠得住，而推理和證明才是可靠的，這就導致了亞里士多德的邏輯體系和歐幾里德幾何體系的建立。

十七世紀末，牛頓和萊布尼茲創立的微積分理論在實踐中取得了成 功的應用，大部分數學家對於這一理論的可靠性深信不疑。但是，當時的微積分理論主要是建立在無窮小分析之上的，而無窮小分析後來證明是包含邏輯矛盾的。

1734年，英國大主教貝克萊發表了《分析學者，或致一個不信教的數學家。其中審查現代分析的對象、原則與推斷是否比之宗教的神秘與教條，構思更為清楚，或推理更為明顯》一書，對當時的微積分學說進行了猛烈的抨擊。他說牛頓先認為無窮小量不是零，然後又讓它等於零，這違背了背反律，並且所得到的流數實際上是0/0,是“依靠雙重錯誤你得到了雖然不科學卻是正確的結果”，這是因為錯誤互相抵償的緣故。在數學史上，稱之為“貝克萊悖論”。這一悖論的發現，在當時引起了一定的思想混亂，導致了數學史上的第二次危機，引起了持續200多年的微積分基礎理論的爭論。

貝克萊攻擊“無窮小”，其目的是為宗教神學作論證，而作為“貝克萊悖論”本身，則是一個思想方法問題。因為數學要按照形式邏輯的不矛盾律來思維，不能在同一思維過程中既承認不等於零，又承認等於零。但是，事物的運動以其終點為極限，運動的結果在量上等於零，而在起點上則不等於零，這是事物運動的兩個方面，不應納入同一思維過程，如果把它們機械地聯結起來，必然會導致思維中的悖論。貝克萊悖論產生的原因在於無窮小量的辨證性與數學方法的形式特性的矛盾。

第二次數學危機的產物——分析基礎理論的嚴密化與集合論的創立。

“貝克萊悖論”提出以後，許多著名數學家從各種不同的角度進行研究、探索，試圖把微積分重新建立在可靠的基礎之上。法國數學家柯西是數學分析的集大成者，通過《分析教程》（1821）、《無窮小計算講義》（1823）、《無窮小計算在幾何中的應用》（1826）這幾部著作，柯西建立起以極限為基礎的現代微積分體系。但柯西的體系仍有尚待改進之處。比如：他關於極限的語言尚顯模糊，依靠了運動、幾何直觀的東西；缺乏實數理論。德國數學家魏爾斯特拉斯是數學分析基礎的主要奠基者之一，他改進了波爾查諾、阿貝爾、柯西的方法，首次用“ε—δ”方法敘述了微積分中一系列重要概念如極限、連續、導數和積分等，建立了該學科的嚴格體系。“ε—δ”方法的提出和應用於微積分，標誌著微積分算術化的完成。為了建立極限理論的基本定理，不少數學家開始給出無理數的嚴格定義。1860年，魏爾斯特拉斯提出用遞增有界數列來定義無理數；1872年，戴德金提出用分割來定義無理數；1883年，康托爾提出用基本序列來定義無理數；等等。這些定義，從不同的側面深刻揭示了無理數的本質，從而建立了嚴格的實數理論，徹底消除了希帕索斯悖論，把極限理論建立在嚴格的實數理論的基礎上，並進而導致集合論的誕生。

魏爾斯特拉斯用排除無窮小量的辦法來解決貝克萊悖論，而在上世紀60年代，魯濱遜又把無窮小量請了回來，引進了超實數的概念，從而建立了非標準分析，同樣也能精確地描述微積分，進而也解決了貝克萊悖論。但必須注意到，貝克萊悖論只是在相對意義下得到了解決，因為實數理論的無矛盾性歸結為集合論的無矛盾性，而集合論的無矛盾性至今仍未徹底解決。

經過第一、二次數學危機，人們把數學基礎理論的無矛盾性，歸結為集 合論的無矛盾性，集合論已成為整個現代數學的邏輯基礎，數學這座富麗堂皇的大廈就算竣工了。看來集合論似乎是不會有矛盾的，數學的嚴格性的目標快要達到了，數學家們幾乎都為這一成就自鳴得意。法國著名數學家龐加萊（1854—1912）於1900年在巴黎召開的國際數學家會議上誇耀道：“現在可以說，（數學）絕對的嚴密性是已經達到了”。然而，事隔不到兩年，英國著名數理邏輯學家和哲學家羅素（1872—1970）即宣布了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，並不存在什麼絕對的嚴密性！史稱“羅素悖論”。1918年，羅素把這個悖論通俗化，稱為理髮師悖論。羅素悖論的發現，無異于晴天霹靂，把人們從美夢中驚醒。羅素悖論以及集合論中其它一些悖論，深入到集合論的理論基礎之中，從而從根本上危及了整個數學體系的確定性和嚴密性。於是在數學和邏輯學界引起了一場軒然大波，形成了數學史上的第三次危機。

產生集合論悖論的原因在於集合的辨證性與數學方法的形式特性或者形而上學的思維方法的矛盾。如產生羅素悖論的原因，就在於概括原則造集的任意性與生成集合的客觀規則的非任意性之間的矛盾。

第三次數學危機的產物——數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。

為了解決第三次數學危機，數學家們作了不同的努力。由於他們解決問題的出發點不同，所遵循的途徑不同，所以在本世紀初就形成了不同的數學哲學流派，這就是以羅素為首的邏輯主義學派、以布勞威爾（1881—1966）為首的直覺主義學派和以希爾伯特為首的形式主義學派。這三大學派的形成與發展，把數學基礎理論研究推向了一個新的階段。三大學派的數學成果首先表現在數理邏輯學科的形成和它的現代分支——證明論等——的形成上。

為了排除集合論悖論，羅素提出了類型論，策梅羅提出了第一個集合論公理系統，后經弗倫克爾加以修改和補充，得到常用的策梅羅——弗倫克爾集合論公理體系，以後又經伯奈斯和哥德爾進一步改進和簡化，得到伯奈斯——哥德爾集合論公理體系。希爾伯特還建立了元數學。作為對集合論悖論研究的直接成果是哥德爾不完全性定理。

美國傑出數學家哥德爾於本世紀30年代提出了不完全性定理。他指出：一個包含邏輯和初等數論的形式系統，如果是協調的，則是不完全的，亦即無矛盾性不可能在本系統內確立；如果初等算術系統是協調的，則協調性在算術系統內是不可能證明的。哥德爾不完全性定理無可辯駁地揭示了形式主義系統的局限性，從數學上證明了企圖以形式主義的技術方法一勞永逸地解決悖論問題的不可能性。它實際上告訴人們，任何想要為數學找到絕對可靠的基礎，從而徹底避免悖論的種種企圖都是徒勞無益的，哥德爾定理是數理邏輯、人工智慧、集合論的基石，是數學史上的一個里程碑。美國著名數學家馮·諾伊曼說過：“哥德爾在現代邏輯中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超過了紀念碑，它是一個里程碑，在可以望見的地方和可以望見的未來中永遠存在的紀念碑”。

時至今日，第三次數學危機還不能說已從根本上消除了，因為數學基礎和數理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決。然而，人們正向根本解決的目標逐漸接近。可以預料，在這個過程中還將產生許多新的重要成果。

發現和提出悖論並加以研究，對於數學基礎、邏輯學和哲學都有重要意義。正如塔斯基（1901— ）所指出的：“必須強調的是，悖論在建立現代演繹科學的基礎上佔有一個特別重要的地位。正如集合論的悖論，特別是羅素悖論成為邏輯和數學相容性形式化的起點一樣，撒謊者悖論及其語義學悖論導致了理論語義學的發展。”

{1，2，3，4，5，…}是自然數集：

{1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。

這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那麼，在每個集合中有一樣多的元素嗎？

我們都知道整體大於部分。由線段BC上的點往頂點A連線，每一條線都會與線段DE(D點在AB上,E點在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣長，與圖矛盾。為什麼？

公元前5世紀，芝諾用他的無窮、連續以及部分和的知識，引發出以下著名的悖論：他提出讓阿基里斯與烏龜之間舉行一場賽跑，並讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始。假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍。比賽開始，當阿基里斯跑了1000米時，烏龜仍前於他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜依然前於他10米……所以，阿基里斯永遠追不上烏龜。

一位老師宣布說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：“你們無法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點鐘才通知你們下午一點鐘考。”

你能說出為什麼這場考試無法進行嗎？

電梯悖論：在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說：“每當我要下樓的時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！”李小姐對電梯也很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說：“不論我什麼時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！”

這究竟是怎麼回事？電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什麼會讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩？

硬幣悖論：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉動半圈，結果硬幣中圖案的位置與開始時一樣；然而，按常理，繞過圓周半圈的硬幣的圖案應是朝下的才對！你能解釋為什麼嗎？

谷堆悖論：顯然，1粒穀子不是堆；

如果1粒穀子不是堆，那麼2粒穀子也不是堆；

如果2粒穀子不是堆，那麼3粒穀子也不是堆；

……

如果99999粒穀子不是堆，那麼100000粒穀子也不是堆；

……

如果1粒穀子落地不能形成谷堆，2粒穀子落地不能形成谷堆，3粒穀子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒穀子落地都不能形成谷堆。這就是令整個古希臘震驚一時的谷堆悖論。

從真實的前提出發，用可以接受的推理，但結論則是明顯錯誤的。它說明定義“堆”缺少明確的邊界。它不同於三段論式的多前提推理，在一個前提的連續積累中形成悖論。從沒有堆到有堆中間沒有一個明確的界限，解決它的辦法就是引進一個模糊的“類”。

這是連鎖（Sorites）悖論中的一個例子，歸功於古希臘人Eubulides，後來的懷疑論者不承認它是知識。“Soros”在希臘語里就是“堆”的意思。