酉空間
酉空間
酉空間(unitary linear space)是一種特殊的複線性空間。指以一類埃爾米特函數作內積的複線性空間。設V是複數域C上的線性空間，J是C的(共軛)自同構：(a+bi)J=a-bi。若在V上定義了一個關於J的埃爾米特函數，並且對任意α∈V，內積(α，α)≥0及(α，α)=0 當且僅當α=0，則稱V為酉空間。n維酉空間U中總存在標準正交基。對U的任一線性變換σ，都存在它的共軛變換σ*。若以A，B分別表示σ與σ*關於給定基的矩陣，則A=G′-1B-′G′，這裡G是關於給定基的格拉姆矩陣，B-′是B的轉置共軛矩陣。對U的任一正規(埃爾米特)變換σ，都存在標準正交基，使σ關於此基的矩陣為對角形(實對角形)矩陣。
亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：
1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) ，對任意
2)，對任意
3) 存在一個元素，對一切有，元素0稱為V的零元.
4) 對任一，都存在使，β稱為α的負元素，記為-α.
5) 對P中單位元1，有
6) 對任意有
7) 對任意有.
8) 對任意有
則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域。當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體矩陣組成的集合M(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則M(P)是數域P上的線性空間.V中向量就是矩陣。再如，域P上所有n元向量構成的集合P對於加法：與純量乘法：構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
線性空間是在考察了大量的數學對象(如幾何學與物理學中的向量，代數學中的n元向量、矩陣、多項式，分析學中的函數等)的本質屬性后抽象出來的數學概念，近代數學中不少的研究對象，如賦范線性空間、模等都與線性空間有著密切的關係。它的理論與方法已經滲透到自然科學、工程技術的許多領域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進向量一詞，並開創了向量理論和向量計算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統理論。1844—1847年，他與柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀的、成為一個純粹數學概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。
酉空間(unitary linear space)是一種帶有正定埃爾米特型的複線性空間V。設V是複數域C上的線性空間。為使得V成為類似於歐幾里得空間的度量空間，也就是希望複數域上非零向量的度量是正實數，我們需要引入埃爾米特函數(也稱埃爾米特型)。
若複線性空間V上的埃爾米特型 滿足：
則稱是正定的。
把酉空間中取定的正定埃爾米特型稱為內積，記為。對任意，內積，當且僅當。
設V是複數域C上的線性空間。若對於V中任意兩個向量α，β，都有惟一確定的複數，記為(α，β)，與它們對應，且滿足：
1.，是(β，α)的共軛複數；
2.
3.
4.(α，α)是非負的實數，且，當且僅當，其中α，β，γ是V中的任意向量，k為任意複數；則稱(α，β)是α與β的內積。定義了內積的複線性空間V稱為酉空間。例如，在復n維向量空間C中，對任意定義：
則(α，β)是C上的內積，而C是酉空間。在n維酉空間中，可以定義正交基和標準正交基。維酉空間的標準正交基是存在的。
埃爾米特函數是一種特殊的半雙線性函數。設V是域P上的線性空間，J是P的自同構，φ是V上的半雙線性函數，若且對每對，則稱φ為V上的埃爾米特函數；當且時，稱φ為反埃爾米特函數。特別地，當J為恆等自同構時，埃爾米特(反埃爾米特)函數就是對稱(反對稱)雙線性函數。n維線性空間V上的埃爾米特(反埃爾米特)函數對取定基的矩陣是埃爾米特(反埃爾米特)矩陣。
用V表示酉空間，T*表示T的共軛變換。
定義1 T是V的線性變換，如果對V中任意向量α,β，有成立，則稱T是V的正規變換。
定理1 設T是V的線性變換，則下列命題等價：
(Ⅰ) T是正規變換；(Ⅱ) ；(Ⅲ) T在標準正交基下的矩陣是正規矩陣。
證明 先證(Ⅰ)→ (Ⅱ)
“ →”：設對V中任意的向量α,β，因，於是，即
由α的任意性得即，又由β的任意性得；
“← ”：對V中任意的向量α,β，因故有，所以T是正規變換。
再證(Ⅱ) →(Ⅲ)
設T在標準正交基下的矩陣為A，則T*在下的矩陣為A′，即：
即有：
由(3)、(4)可知，當時，有，即A是正規矩陣。當時，顯然也有，即T是正規變換。
定理2 設T是正規變換，λ為複數，設I是單位變換，則：(Ⅰ)λT是正規變換；(Ⅱ) T-λI也是正規變換。
證明 (Ⅰ)因所以即λT是正規變換。
(Ⅱ)因即也是正規變換。
定理3 設是正規變換，當與可交換時，是正規變換，也是正規變換。
證明 當時，有故：
所以，也是正規變換。
又所以，也是正規變換。