計算力學

近代力學的基本理論和基本方程在19世紀末20世紀初已基本完備了，後來的力學家大多致力於尋求各種具體問題的解。但由於許多力學問題相當複雜，很難獲得解析解，用數值方法求解也遇到計算工作量過於龐大的困難。通常只能通過各種假設把問題簡化到可以處理的程度，以得到某種近似的解答，或是藉助於實驗手段來謀求問題的解決。第二次世界大戰后不久，第一台電子計算機在美國出現，並在以後的20年裡得到了迅速的發展。20世紀60年代出現了大型通用數字電子計算機，這種強大的計算工具的出現使複雜的數字運算不再成為障礙，為計算力學的形成奠定了物質基礎。與此同時，適用於計算機的各種數值方法，如矩陣運算、線性代數、數學規劃等也得到相應的發展；橢圓型、拋物型和雙曲型微分方程的差分格式和穩定性理論研究也相繼取得進展。

1960年，美國克拉夫首先提出了有限元法，為把連續體力學問題化作離散的力學模型開拓了寬廣的途徑。有限元法的物理實質是：把一個連續體近似地用有限個在節點處相連接的單元組成的組合體來代替，從而把連續體的分析轉化為單元分析加上對這些單元組合的分析問題。有限元法和計算機的結合，產生了巨大的威力，應用範圍很快從簡單的桿、板結構推廣到複雜的空間組合結構，使過去不可能進行的一些大型複雜結構的靜力分析變成了常規的計算，固體力學中的動力問題和各種非線性問題也有了各種相應的解決途徑。

另一種有效的計算方法——有限差分方法也差不多同時在流體力學領域內得到新的發展，有代表性的工作是美國哈洛等人提出的一套計算方法，尤其是其中的質點網格法(即PIC方法)。這些方法往往來源於對實際問題所作的物理觀察與考慮，然後再採用計算機作數值模擬，而不講究數學上的嚴格論證。1963年哈洛和弗羅姆成功地用電子計算機解決了流體力學中有名的難題——卡門渦街的數值模擬。

無論是有限元法還是有限差分方法，它們的離散化概念都具有非常直觀的意義，很容易被工程師們接受，而且在數學上又都有便於計算機處理的計算格式。計算力學就是在高速計算機產生的基礎上，隨著這些新的概念和方法的出現而形成的。

計算力學的應用範圍已擴大到固體力學、岩土力學、水力學、流體力學、生物力學等領域。計算力學主要進行數值方法的研究，如對有限差分方法、有限元法作進一步深入研究，對一些新的方法及基礎理論問題進行探索等等。

計算結構力學是研究結構力學中的結構分析和結構綜合問題。結構分析指在一定外界因素作用下分析結構的反應，包括應力、變形、頻率、極限承載能力等。結構綜合指在一定約束條件下，綜合各種因素進行結構優化設計，例如尋求最經濟、最輕或剛度最大的設計方案。計算流體力學主要研究流體力學中的無粘繞流和粘性流動。無粘繞流包括低速流、跨聲速流、超聲速流等；粘性流動包括端流、邊界層流動等。

計算力學已在應用中逐步形成自己的理論和方法。有限元法和有限差分方法是比較有代表性的方法，這兩種方法各有自己的特點和適用範圍。有限元法主要應用於固體力學，有限差分方法則主要應用於流體力學。近年來這種狀況已發生變化，它們正在互相交叉和滲透，特別是有限元法在流體力學中的應用日趨廣泛。

用計算力學求解各種力學問題，一般有下列幾個步驟：用工程和力學的概念和理論建立計算模型；用數學知識尋求最恰當的數值計算方法；編製計算程序進行數值計算，在計算機上求出答案；運用工程和力學的概念判斷和解釋所得結果和意義，作出科學結論。

計算力學對於各種力學問題的適應性強，應用範圍廣。它能詳細給出各種數值結果；通過圖像顯示還可以形象地描述力學過程。它能多次重複進行數值模擬，比實驗省時省錢。但計算力學也有弱點，例如，它不能給出函數形式的解析表達式，因此比較難以顯示數值解的規律性。許多非線性問題由於解的存在和唯一性缺乏嚴格證明，數值計算結果須作一些驗證。

力學現象的數學模擬，常常歸結為求解常微分方程、偏微分方程、積分方程、或代數方程。求解這些方程的方法有兩類：一類是求分析解，即以公式表示的解；另一類是求數值解，即以成批數字錶示的解。很多力學問題相當複雜，特別是複雜的偏微分方程組，一般難以得出它們的分析解，而用數值方法求解則運算步驟繁複，耗用人力很多，因此在電子計算機出現以前，非不得已不用。20世紀50年代以來，出現了配有現代程序設計語言的通用數字計算機。計算機的快速運算和大存貯量，使解複雜的力學問題成為可能。三十多年來，隨著計算機的改進，數值方法得到廣泛的應用和很大的發展；主要是考慮算得更快、更准、省錢，並為原先不能算的問題構造演演算法。

數值方法很多，求解偏微分方程數值解，以有限差分方法和有限元法使用最廣；此外，還有變分方法、直線法、特徵線法和譜方法，等等。這些方法的實質絕大多數是將偏微分方程問題化成代數問題，然後再用計算機求未知函數的數值解。

有限差分方法

具有簡單、靈活和通用性強等特點。用差分方法求數值解時，須先將自變數的定義域“離散化”，即只企圖算自變數定義域中有限個點的未知函數的近似值。如果自變數只有一個，則可把要計算的區間離散成個線段。如果自變數有兩個，而計算區域是圖1[二變數區域的離散化]所示的矩形，則最簡單的離散方式是把區域分成乘個小矩形。小矩形的長 和寬分別叫作方向和方向的步長。微分方程中出現的偏導數(，)，在微積分中是差商的極限，在有限差分方法中則代以差商。如圖1[二變數區域的離散化]中點的有的情形可代以差商(()-())/2，有的情形可代以(()-())/，如果有二階偏導數，常常可代以二階差商(()-2()＋())/2，其中()、()和()分別表示相應點的值。如以適當的差商來代替微分方程每一個導數，就得到對應於原微分方程的差分方程怎樣選差商至關重要。此外，偏微分方程總還要附加邊界或初始條件，這些條件也要用差分形式表示。這樣，對於每個網格點的未知函數值作出未知量的代數方程組。如果網格分得較密，即步長和都比較小，或與 的數值都比較大，則所得代數方程組的未知量的數目將很大，但藉助計算機，還是可以很快求出解來。由於步長無法取為零，因此用差分方法只能求得原微分方程的近似解。但只要選擇合理的差商和步長，計算結果仍能令人滿意，有時還能得到精度很高的解。

有限元法

這種方法是把計算區域剖分成大小不等的三角形（或其他形狀的）單元，然後在各單元上用適當的插值函數來代替未知函數。根據變分原理，可將偏微分方程化成代數方程來求解。這種方法具有很廣泛的適應性，特別適於求解具有複雜邊界形狀和物理條件的問題，而且很容易在計算機上實現。1970年以來已研究出一些適用於廣泛的線性問題的有限元通用程序，對工程設計起很大作用。按照有限元法剖分的思想，把汽車外殼剖分成大小不等的許多三角形單元，而對彎曲邊界只須裁彎取直即可。在應力變化劇烈和要求精確計算的地方，須把單元取得小些；在變化不劇烈的地方則可取得大些。用這種方法不僅可以適應複雜的區域，還可以盡量減少總的單元數目，從而減少未知量的數目。如果在有限差分方法中用矩形網格，則較難處理如此複雜的區域。

計算力學橫貫各個力學分支，為它們服務，促進它們的發展，同時也受它們的影響。計算力學曾揭示出一些前所未知的物理現象，如兩個非線性孤立波在相遇和干擾后仍能保持原有的振幅和波形，就是首先從數值計算中發現，以後才由實驗證實的。計算力學也推動了變分方法等基本力學方法和計算方法的研究。計算力學對力學實驗提出了更高的要求，促進了實驗的發展。在計算力學幫助下，對實驗過程中測點的最佳位置、測量最佳時刻的確定有了更可靠的理論指導。

計算力學也為實際工程項目開闢了優化設計的前景。過去，工程師們雖有追求最優化設計的願望，但是力不從心；現在，由於有了強有力的結構分析方法和工具，便有條件研究改進設計的科學方法，逐步形成計算力學的一個重要分支——結構優化設計。計算力學在應用中也提出了不少理論問題，如穩定性分析、誤差估計、收斂性等，吸引許多數學家去研究，從而推動了數值分析理論的發展。

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