六十進位

六十進位是以60為基數的進位制。

我們所習慣的印度-阿拉伯數字，就是一個以10為底的計數與演算系統。

例如，在234中的2代表200，25中的2代表20，而102中的2就代表2。在一個完整的進位系統中，必須要有代表“零”的符號，才能將可能缺項的位數補零。我們直式加減乘除，就是建立在這樣的位值系統上。

至於不使用進位的系統，大概只有羅馬數字還算為世人所熟悉。這也是一個以10為基底的系統，但它用I、X、C 、M表示1、10、100和1000，再加上V、L、D代表5、50及500作輔助。舉例來說，1762=MDCCLXII。

若要用它作加減乘除的運算，對現代人而言是十分困難的。但是，如果我們熟記一些規則，比如5個I的和為V，兩個V的和是X等等，再加上羅馬時代也有類似中國的算盤，其實應付10000以下的運算還不會太困難。事實上，古代希臘人、希伯來人及早期的阿拉伯人使用比羅馬數字更複雜的字母系統來代表數字，而且跟羅馬人一樣不使用零，但在當時已經足夠。

巴比倫使用的這個六十進位法是個不完整的進位系統，因為它缺乏代表“零”的符號。但它與我們系統是很接近的，它使用59個不同的符號代表1至59，當泥板上由左至右出現5、6、3時，它的意思是 =18363。這使得一個很龐大的數字變得容易紀錄。

巴比倫六十進位法如前所述，它一直沒有“零”的符號，也沒有小數點。雖然有時他們會將某一位空下來以代表缺項，但也因沒有統一使用，讓我們後人無法直接從數字元號上去確定它的值，此時我們只能從泥板的上下文去判斷了。這樣容易混淆的狀況，一直到約公元前300年波斯人“發明”了“零”的符號，才大有改善，但小數點仍一直沒有被使用。

數字60有12個因子，即1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60，其中2、3和5是質數。由於擁有較多因子，六十進位的數可被較多數整除；換言之，可以分拆成多種不同的時間長度，例如一小時可以被看作2個30分鐘、3個20分鐘、4個15分鐘等。60也是可同時被1至6整除的最小的數字。

表示方法：數字用0~9、A~Z、a~x表示，其中A~Z代表10~35，a~x代表36~59。

與其他進位制不同，六十進位在一般運算和邏輯中並不常用，主要用於計算角度、地理坐標和時間。

一小時相等於60分鐘，而一分鐘則為60秒。於是，“3:23:17”（三小時廿三分十七秒）即相當於或小時。

當中的六十進位數字（即3、23和17）均以十進位數字寫出。

相類似的是角度，一個圓形被均分成360度，每一度有60角分，一角分等於60角秒。

在農曆中，有六十甲子的概念，以天干與地支兩者經一定的組合方式搭配成六十對，為一個周期。

六十進位位值記數法( sexagesimal place value notation，縮寫為 SPVN)，簡稱為“六十進位記數法”。其發明和使用，是兩河流域數學知識發展過程中的一個顯著特點和獨特貢獻，其採用的六十進位一直保留在現代世界對時間( 小時、分、秒) 的記錄中。關於這一記數法發明的具體時間，過去曾有學者論證它始於烏爾第三王朝時期，但學術界日益傾向於追溯其起源至更早的阿卡德王朝時期。

在古代的美索不達米亞時代，數字以楔形文字表達，分“個位”和“十位”，1以Y代表，2為YY，3為YYY，如此類推，直至9；10則為<，20為<<，如此類推，直至50（<<<<<），如右圖。大過59個數字，就重覆以上符號作標示。閃族和早期巴比倫沒有0的符號，故未必能單就一堆楔形符號即時說出其所代表的數字。到後來，巴比倫人逐漸以點代表零。

到古巴比倫時期，六十進位記數法已在數學文獻中得到廣泛而成熟的應用。這些數學文獻的種類主要包括度量衡量值( 容積、重量、面積、長度、深度) 的列表和換算表，數表( 乘法表、倒數表、平方表、平方根表、立方根表) 以及數學習題，總數略超一千。

考古學家判斷，出土這些文獻的建築物在古巴比倫時期極有可能作為學堂使用; 加之這些文獻構成了這一時期數學基礎教育的主要內容，所以它們通常也被稱作“學堂文獻”( school texts) 或“學堂泥板”( school tablets) 。兩河流域的文字材料使用蘇美爾語( Sumerian) 或阿卡德語( Akkadi-an) ，通常用楔形文字刻寫在黏土所捏制的泥板上; 多數情況下一塊泥板記錄一篇文獻，所以使用“文獻”( text) 和“泥板”( tablet) 作為同義詞。關於兩河流域公開發表的數學泥板，已有題錄出版。

中國人在公元二世紀才發明造紙術，在紙張傳遍歐亞大陸之前，任何足以長期保存的書寫工具都是很昂貴的。而古巴比倫時代已有良好的農業發展及頻繁的商業往來，再加上早熟的天象觀察，使得記載龐大數字並長久保存有其必要。當時捏制一塊泥板，把一些文字與數字小心地用一根尖尖的棍子刻上去，再將之烘培定型保存起來，是十分費時的工作，可見書寫文字在當時是很“昂貴”的事。這就是為什麼在四千多年前，巴比倫人就發展出這種與現代位置系統相似的六十進位法的原因。

古人的天文測量活動促進了幾何學的發展，在這個過程中，他們經常需要等分角，二等分，三等分，四等分……（中學時候的尺規做圖就是從這種古老的幾何學流傳下來的），當然他們要先解決等分的數量小的情況，從二，三，四，五。。開始，如果採用60進位，由於60是2，3，4，5，6的公倍數，可以等分這些角，而如果用100進位，三等分和六等分就不能實現。古人定角度為60進位的原因很樸素，就是為了測量和作圖方便，做一個量角尺，就可以按照讀數來把角等分成很多份。

古代蘇美社會（約公元前3200至2340年）中，只有掌控社會經濟的廟宇才能使用文字紀錄，此外，出土的泥板中，最大超過六公斤，面積大到要助手雙手扶著供書記官書寫才行。所以，用很小的空間紀錄很大的數字就變得很重要，在一些較為古老泥板中，1的60倍被寫成一個比較大的“1”，但後來被簡化成原來的大小，再將數字放在不同位置代表60的不同倍數，帶有位值便利性的六十進位法於焉誕生。

有學者相信為了統一當時的度量衡，所以用60而非10為底，因為當時可能有兩種常用的單位（如同我們將公制和英制混合使用）。