抽象函數
數學術語之一
我們把沒有給出具體解析式的函數稱為抽象函數。由於這類問題可以全面考查學生對函數概念和性質的理解，同時抽象函數問題又將函數的定義域，值域，單調性，奇偶性，周期性和圖象集於一身，所以在高考中不斷出現；如2002年上海高考卷12題，2004年江蘇高考卷22題，2004年浙江高考卷12題等。
不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特徵的函數即抽象函數。一般形式為，或許還附有定義域、值域等，如：。
冪函數：
對數函數：
三角函數：
指數函數：
周期為n的周期函數：
例題：,在定義域上單調遞增，。求證：即以二為底x的對數。
證明：定義域：相同
同理
且(時) ①
且（時，）
(時，)
②
,且(①)
,且
又② 即對所有有理數成立 ③
任取，{1}若,z必定為,(由於單調性以及③)，
在上必定有,為有理數，,
(單調性)與矛盾，導出矛盾所以不成立
{2}同理不成立
又，有定義域
所以
令的對數=以二為底x的對數
證畢。（若沒有單調性要先證單調性）
對稱軸為
關於(,)對稱
周期為m
求解抽象函數
一般方法
熟悉函數的基本知識
解答抽象函數題目的基礎是熟悉函數的基本知識。如果連基本的函數知識都沒有掌握，解決抽象函數問題只能是空談。具體說，學好函數要掌握常見函數的性質。例如，中學涉及的函數性質一般有單調性、奇偶性、有界性及周期性；常見的函數有指數函數、對數函數、三角函數、二次函數、對勾函數（)等等。
靈活選擇解題方法
從上文對幾種解法的介紹不難看出，選擇合適的方法對解決抽象函數問題往往會起到事半功倍的效果。對於選擇題，選用特殊值法、賦值法、圖像法等等可以在很短的時間內得到答案，在應試時節省出不少時間。而對各種方法的理解，在解題中選擇出合適的方法，則需要在平時的學習中多體會多感悟。
特殊值法是處理抽象函數選擇題的有力方法。根據抽象函數具有的性質，選擇一個熟悉的函數作為特殊值代入驗證，可以解決大部分選擇題。
例1 定義在R上的函數滿足，當時， ，則函數在上 ( )
A 有最小值 B 有最大值 C 有最小值 D 有最大值
分析：許多抽象函數是由特殊函數抽象背景而得到的，如正比例函數，可抽象為，與此類似的還有
| 特殊函數 | 抽象函數 |
此題作為選擇題可採用特殊值函數
當時即。，可得在上單調遞減，從而在上有最小值。
根據所要證明的或求解的問題使自變數取某些特殊值，從而解決問題。
例2 除了用剛才的方法外，也可採用賦值法
解：令，則由得①,
再令得得，代入①式得。
∵當時，，
即在R上是一個減函數，可得在上有最小值。
抽象函數雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質圖象直接來解題。
抽象函數解題時常要用到以下結論：
定理1：如果函數滿足，則函數的圖象關於對稱。
定理2：如果函數滿足，則函數是一個周期函數，其周期應為
例4 是定義在R上的偶函數，且，證明是周期函數。
分析：由 ，得的圖象關於對稱，又f(x)是定義在R上的偶函數，圖象關於y軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那麼就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然後再作證明。
由圖可直觀得,要證其為周期函數，只需證。
證明：，。
是一個周期函數。
例5 已知定義在上的偶函數在區間上單調遞減，若,求實數m的取值範圍
分析：根據函數的定義域，，，但是和m分別在和的哪個區間內呢？如果就此討論，將十分複雜，如果注意到偶函數，則有性質，就可避免複雜的討論。
基本信息
- 中文名
- 抽象函數
- 外文名
- Abstract function
- 釋義
- 沒有給出具體解析式的函數
- 所屬
- 數學
- 性質
- 數學術語
- 應用
- 通過特點計算解析式