波爾查諾－維爾斯特拉斯定理

緻密性定理：有界數列必有收斂子列。

先介紹子列的概念：在數列{x}中任意抽取無限多項並保持這些項在原數列中的先後次序，這樣得到的一個數列稱為原數列的子列。

根據極限的性質，數列有界是收斂的必要條件，即如果數列收斂，那它一定有界，但反之不一定成立。可是緻密性定理卻告訴我們，只要一個數列有界，那麼它一定會有收斂的子數列。

由於子列收斂，設收斂到常數A，根據極限的幾何意義，在A的ε鄰域內總有子列的無數個點。而ε是任意正數，這就意味著在A的任何鄰域內都有子列的無數個點。所以從點集的角度來描述該定理，則是：有界點集至少有一個聚點（即聚點定理）。

緻密性定理體現了實數的連續性，與其他體現實數連續性的命題等價。特別地，聚點定理可以看做緻密性定理在點集拓撲論中的體現，或者說緻密性定理是聚點定理在實數理論中的體現，所以有的書上把這兩個定理等同來看待。

下面用實數公理——戴德金定理來證明緻密性定理。

設數列有界，即存在。若中有無窮多項相等，取這無窮多項構成的一個子列，則該子列為一常數列，而常數列總是收斂的。

若中只有有限項相等，定義數集A，A中任一元素c滿足：在區間上最多只有的有限項（注意用詞“最多”，這意味著上可以有的0項），而區間上有的無窮多項。並把A在R中的補集記為B。顯然：

①因此A、B非空；

②；

③對任意，存在某個，滿足。而對任意，都有。即。

根據戴德金定理，存在唯一實數ξ，要麼它是A中的最大值，要麼它是B中的最小值。

取任意，有，因此區間有的無窮多項。這是因為假設只有的有限項，則根據數集A的構造，在上只有的有限項，而數列中等於的項最多也只有有限個，於是上只有的有限項。所以，矛盾。

由於上只有的有限項，當ε逐漸減小時，之外的項將逐漸增多。要使仍有的無窮多項，則n需要足夠大，即n越大越可能留在之內，n越小越可能落在之外。

於是，取，則存在正整數，使，即

取，則存在正整數，使，即

……

取，則存在正整數，使

於是就得到數列的子列，當時，由夾逼定理得，即

這就證明了緻密性定理。