阻尼函數

學過物理機械振動的都知道，。其中質點能到達的最大位置到原點的距離為振幅，用表示時，A就是振幅的數值。在圖像上，有N個最大值和最小值，當然也是極值，這最大值在圖像上的表現就叫波峰，最小值在圖像上的表現就叫波谷，相鄰的波峰和波谷之間叫做半個波長，也就是半個周期。這就是物理上機械振動和三角函數之間的關係。

可實際上的機械振動是不可能達到簡諧的效果的，因為機械的摩擦，空氣的阻力，以及一系列其他的客觀因素，振動的振幅會隨著振動的時間逐漸減小，這就叫做有阻尼的振動，反映在圖像上，也就不再是三角函數了，因為三角函數是周期函數，它的形狀不會隨著自變數的變化而增大或縮小。

這種隨著自變數的變化而增大或縮小的函數，就叫做阻尼函數。阻尼函數沒有具體的解析式，其最簡的形式為，它是偶函數，之所以能達到阻尼的效果，是因為在定義域上單調，從而控制著sinx的振幅變化。由此我們可以得出一個結論：若把上式的x換成其他的單調函數，也能達到阻尼函數的效果。例如換成指數函數的表達式，，這也是一種阻尼函數。此外，也可以在某一區間上阻尼，

例如，其中若，這個函數就可以表示物理上的阻尼振動圖像了。

無論什麼形式的阻尼函數，都是兩種或三種函數組合而成的：單調函數和一個三角函數。我們前幾講講過的冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數，再加上一個常值函數，這六種函數叫做基本初等函數，它們之間任意排列組合形成的函數叫作複合函數。阻尼函數就是一個比較簡單的複合函數。

我們在進行函數研究的時候，往往把一個不容易討論的複合函數分成若干個簡單函數的合成，從而簡化對函數的研究。就拿阻尼函數來說，引入一個輔變數，並令，那麼就可以分解為，這時的g(x)就叫做中間變數。若g(x)在區間(a,b)上是單調函數，且在上是單調函數，那麼這個複合函數在上的單調性就可以判斷了，總體的規律是：。（符合交換率）

解決複合函數問題的常用方法叫做換元法，有平方的甚至可以用三角換元，也就是引入一個或者幾個中間變數，簡化做題步驟和思維量。