畢達哥拉斯悖論
不可通約量的發現
約公元前5世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧規律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。
鼎盛年約在公元前531年，畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數”是該學派的哲學基石。而“一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的“掘墓人”。畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰(一切數均可表成整數或整數之比)，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的衝擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的衝突上：任何量，在任何精確度的範圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱“第一次數學危機”。
泰勒斯(Thales)在哲學上有個對立面，這個人就是首先提出物質運動應該符合數學規律的古希臘哲學家、數學家、天文學家——畢達哥拉斯(公元前580年？～公元前500年？)。他有一套這樣的理論：地球沿著一個球面圍繞著空間一個固定點處的“中央火”轉動，另一側有一個“對地星”與之平衡。這個“中央火”是宇宙的祭壇，是人永遠也看不見的。這十個天體到中央火之間的距離，同音節之間的音程具有同樣的比例關係，以保證星球的和諧，從而奏出天體的音樂。在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了“三角形內角之和等於兩個直角”的論斷；研究了黃金分割；發現了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
畢達哥拉斯有次應邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由於大餐遲遲不上桌，這些飢腸轆轆的貴賓頗有怨言；這位善於觀察和理解的數學家卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和[數]之間的關係，於是拿了畫筆並且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線AB為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。他很好奇，於是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發現這個正方形之面積等於5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等於另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數學大師，視線都一直沒有離開地面。
說謊者悖論是公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）說的話：“所有克利特人都說謊，他們中間的一個詩人這麼說。”
如果這名詩人說的是真的，那麼，克利特人就是說謊者，這個詩人也不能排除在外；如果這名詩人說謊，那麼克利特人就不是說謊的群體，這個詩人也應該不是說謊者，這和詩人說謊矛盾。這就是悖論。
其結論為：運動不可能開始。
其論點為：因為一運動物體在到達目的地之前，必須先抵達距離目的地之一半的位置。即：若要從A處到達B處，必須先到AB中點C，要到達C，又須先到達AC的中點D。如此繼續劃分下去，所謂的“一半距離”數值將越來越小。最後“一半距離”幾乎可被視為零。
這就形成了此一物體若要從A移動到B，必須先停留在A的悖論。這樣一來，此物體將永遠停留在初始位置（或者說物體初始運動所經過的距離近似0），以至這物體的運動幾乎不能開始。
芝諾悖論是古希臘數學家芝諾(Zeno of Elea)提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論。這些悖論由於被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為後人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關於“存在”不動、是一的學說。這些悖論中最著名的兩個是：“阿喀琉斯跑不過烏龜”和“飛矢不動”。
兩分法悖論
運動是不可能的。
由於運動的物體在到達目的地前必須到達其半路上的點，若假設空間無限可分則有限距離包括無窮多點，於是運動的物體會在有限時間內經過無限多點。
(Achilles)
動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。
由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。
如柏拉圖描述，芝諾說這樣的悖論，是興之所至的小玩笑。
首先，巴門尼德編出這個悖論，用來嘲笑“數學派”所代表的畢達哥拉斯的“1>0.999...，1-0.999...>0”思想。
然後，他又用這個悖論，嘲笑他的學生芝諾的“1=0.999...，但1-0.999...>0”思想。
最後，芝諾用這個悖論，反過來嘲笑巴門尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。
主條目：飛矢不動
一支飛行的箭是靜止的。
由於每一時刻這隻箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處於運動狀態。
首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對於觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。
□□□□觀眾席A
■■■■隊列B・・・向右移動（→）
▲▲▲▲隊列C・・・向左移動（←）
B、C兩個列隊開始移動，如下圖所示相對於觀眾席A，B和C分別向右和左各移動了一個距離單位。
□□□□
■■■■
▲▲▲▲
而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等於一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。
（四個悖論的敘述引自K.克萊茵(K.Klein)《古今數學思想》中譯本，BillSmith對第四個悖論的原文作了修改以說得更清楚些。）
飛矢不動悖論是古希臘數學家芝諾(Zeno of Elea)提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論中的一個。人們通常把這些悖論稱為芝諾悖論。
芝諾提出，由於箭在其飛行過程中的任何瞬間都有一個暫時的位置，所以它在這個位置上和不動沒有什麼區別。中國古代的名家惠施也提出過，“飛鳥之景，未嘗動也”的類似說法。
芝諾問他的學生：“一支射出的箭是動的還是不動的？”
“那還用說，當然是動的。”
“確實是這樣，在每個人的眼裡它都是動的。可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？”
“有的，老師。”
“在這一瞬間里，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？”
“有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。”
“那麼，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？”
“不動的，老師”
“這一瞬間是不動的，那麼其他瞬間呢？”
“也是不動的，老師”
“所以，射出去的箭是不動的？”
克萊特契克在他的書中指明必須限制條件，這才是一場公平的遊戲，例如A，B二人對對方穿領帶的習慣一無所知等。
他還假定每一個比賽者帶有從0到任意數量（比如說一百元）的錢。以此假定構成兩人錢數的矩陣，就可看出這個比賽是“對稱的”，不會偏向任何一方。
但他沒有指出兩個比賽者的想法錯在哪裡。
A，B二人的想法顯然出了問題，但問題到底出在那裡？到現在還沒有人公布出明確的答案。
其實問題就在A，B二人只以“可以贏更多的錢”這點，就做出這場賭博對自己有利的結論，當然是錯誤的。顯然是缺乏思考，對客觀事物的複雜程度缺乏認識，才會做出如此樂觀的結論。
這場賭博對誰有利的考慮誰可以贏得這場賭博。而不是以“可以贏更多的錢”來判斷。
若以誰有勝算來判斷，必須注意二點：
（一）必須計算期望值。
（二）“錢包里有多少錢”是很隨機的。無法有一定的標準。難以論定這場賭博的勝負，但若將“所有人類的錢包里的錢”相加后除以全人類數目，還是可以得出一個平均值。
若錢包里的錢比平均值大，那勝算比較大，反之較小。各國家，各地區人的錢包里的平均值都不一樣，全人類太廣泛，以國家，地區來分更加有勝算。
但就算是費很大力氣來得到這平均值，還是很難確定有勝算的。由此可見A，B二人認為這場賭博對自己有利的結論是做得多麼輕易，缺乏思考。
其實最有勝算的方法是知道對方的錢包理有多少錢。
錢包悖論現實生活例子
最常見的就是在賭博時，期待“如果贏的話、會贏得比輸得更多”。例如玩吃角子老虎機時認為“就算只中櫻桃，也是翻五倍！”問題是會中嗎？
基本信息
- 中文名
- 畢達哥拉斯悖論
- 提出者
- 畢達哥拉斯
- 悖論原因
- 不可通約量的發現
- 相關介紹
- 遊行隊伍悖論