基數效用論

西方經濟學效用理論的思想淵源，也許可以追溯到以邊沁和密爾為代表的英國功利主義哲學，但其直接奠基卻是產生於19世紀50-70年代的"邊際革命"。在此期間，德國的戈森、英國的傑文斯、奧地利的門格爾以及法國的瓦爾拉斯等人差不多同時，但又都各自獨立地發現了“邊際效用遞減規律”。邊際效用學說建立在效用可以直接計量的假設之上，因此也被稱為“基數效用論”。

基數效用論是19世紀和20世紀初期西方經濟學普遍使用的概念。其基本觀點是：效用是可以計量並可以加總求和的。表示效用大小的計量單位被稱為效用單位(Utility unit)。

基數效用論是19世紀和20世紀初期西方經濟學普遍使用的概念。基本觀點是：效用是可以計量並可以加總求和的。表示效用大小的計量單位被稱為效用單位（Ut ility unit）。因此，效用的大小可以用基數（1、2、3……）來表示，正如長度單位可以用米來表示一樣。基數效用論採用的是邊際效用分析法。基數效用論認為效用大小是可以測量的，其計數單位就是效用單位。

基數效用論認為商品的邊際效用是遞減的，而馬歇爾指出，貨幣也必須服從邊際效用遞減規律。既然如此，由於富人持有的貨幣量大於窮人，所以前者的邊際效用小於後者。如果把一元錢從富人那裡轉移到窮人那裡，整個社會的效用就會增加。所以，邊際效用遞減規律可以成為收入平均化的理論依據。

基數效用論採用的是 邊際效用分析法。

慾望——消費的動機；滿足——消費的結果；效用——滿足程度的度量。

效用——消費者在消費活動中獲得的滿足程度，它是衡量消費效果的綜合指標。

1.效用量可以具體衡量；

2.邊際效用（MU）遞減規律。

3.貨幣邊際效用不變

與序數效用論的異同

基數效用論採用邊際效用的分析法。而序數效用論採用無差異曲線分析法來考察消費者行為，並在此基礎上推導需求曲線。物的效用向量可以表示為：Ux=U(x1,x2,x3，…，xn）。向量的模長可以直接比較，這是基數效用論的方法；多個向量可以複合成一個總的向量，或者一個總的向量可以分解成多個、多組向量，這是序數效用論的方法。下表給出兩種理論的具體區別：

效用理論類型‖ 主要觀點‖ 假設條件‖ 分析工具‖ 經濟學家

基數效用論 ‖ 效用可計量 ‖ 苛刻 ‖邊際效用‖馬歇爾

序數效用論‖ 效用可比較 ‖ 寬鬆 ‖ 無差異曲線 ‖ 希克斯

聯繫

基數效用論和序數效用論，是消費者行為理論中兩個重要的理論。序數效用論的緣起，在於分析效用會相互影響的不同商品之間的關係（由Jevons等人的邊際革命所推廣的基數效用論一開始假設商品之間的效用沒有相互影響，因而無法研究有關聯的商品之間的關係，於是Pareto從Edgeworth那裡借用了無差異曲線，用以說明兩種商品之間的關係）。從這裡可以知道，無差異曲線最早是從效用曲線得來的，而效用曲線本來是基數效用論中的概念。

邊際效用遞減規律（The law of diminishing marginal utility）在一定時間內，在其他商品的消費數量保持不變的條件下，隨著消費者對某種商品消費量的增加，消費者從該商品連續增加的每一消費單位中所得到的效用增量即邊際效用是遞減的。

例如：在一個人很飢餓的時候，吃第一個包子給他帶來的效用是很大的，以後，隨著這個人吃的包子數量的持續增加，雖然總效用不斷增加，但每一個包子給他帶來的效用增量即邊際效用卻是遞減的。當他完全吃飽的時候，包子的總效用達到最大值，而邊際效用卻降為零。如果他還繼續吃包子，就會感到不適，這意味著包子的邊際效用進一步降為負值，總效用也開始下降。

遞減規律的推導

第一，把效用看作消費的變數，據此構建的效用函數為：

U = u（X1，X2，…，Xn） (1-1)

式中U表示消費者一定時期內獲得的效用總量，X1，X2，…，X n表示n種消費品的消費數量。假定式（1-1）是一個連續、可微的凹函數，即：

du /dxi > 0 且d 2u /dx i 2 < 0 (1-2)

式中i = 1，2，…，n，記du /dx i = MUi，稱為 i種消費品的邊際效用；式（1-2）的含義為“一個消費者從同一種消費品中獲得的效用總量以遞減的速率遞增”或“一個消費者從同一種消費品每一單位的增量中所獲得的效用是遞減的”，這就是所謂的“邊際效用遞減規律”。

假定消費者在一定收入水平下總是購買效用最大的消費品組合，則消費者的行為可以轉化為一個求解效用函數條件極值的數學問題。設I為消費者的收入，Pi為i種消費品的價格，則P1X1 + P2X2 + … + PnXn = I為消費者的預算約束，以此條件求效用函數（1-1）的最大值，得：

MU1 / P1 = MU2 / P2 = … = MUn / Pn = λ (1-3)

式中MUi = du /dx i ，即X i的邊際效用；λ為貨幣收入的邊際效用。

第二，由於式（1-1）至式（1-3）是以“基數效用論”為基礎的，而效用的計量被認為是一個有爭議的假設，所以希克斯等人建立了“序數效用論”，用“無差異分析”來取代效用的計量。該分析假定消費者購買兩種商品X1、X2，且給定一個不變的效用水平U 0，則效用函數為：

U 0 = u（X1，X 2) (1-4)

式（1-4）表示給定的效用水平U 0可以從X1和X 2的不同組合中獲得，由於X1的減少必須由X 2的增加來彌補，所以ΔX 2 /ΔX1< 0，即函數（1-4）為一條向右下傾斜的曲線；稱∣ΔX2 /ΔX1∣為X1和X 2的“邊際替代率”，如果要使總效用維持不變，則隨著某一商品消費量增加而必須放棄的另一商品的消費量將不斷減少，這就是所謂的“邊際替代率遞減規律”；這一規律說明，函數（1-4）為一條突向原點的曲線；在“序數效用論”中，這條體現同一效用水平、向右下傾斜並凸向原點的曲線被稱為“無差異曲線”；如果給定預算約束I = P1X1 + P2X2，必有一條無差異曲線與之相切，該切點即為效用最大化的均衡點；在切點處兩條曲線的斜率相等，因此有：

ΔX2 /ΔX1 = P1 / P2 (1-5)

式（1-5）的意義在於，經濟學家似乎不用涉及效用的計量，只要通過消費變數ΔX和價格P，也可以推出與“基數效用論”同樣的結果，即一個理性的消費者將按照“效用最大化”的原則來決定他的行為。

第三，由於“效用最大化”是新古典經濟學以及建立在新古典基礎上的現代西方主流經濟學最基本的假設之一，而“最大化”本身已經暗含著效用在數量上的可比性；如果效用是無法計量的，經濟學家怎樣才能描述偏好和效用的“最大化”呢？薩謬爾森等人建立的“顯示偏好理論”，就是為了解決“序數效用論”所蘊涵的這一巨大矛盾。

“顯示偏好理論”的數學證明雖然非常繁複，但是它所包含的基本思想卻非常簡單：按照薩謬爾森的說法，“效用或偏好作為一種主觀心理狀態雖然是觀察不到的，但我們可以觀察到需求行為，即消費者在市場上作出的選擇；一個競爭性的、理性的消費者通過自己的市場行為顯示自己的偏好”，即“任意商品叢，只要費用低於所選擇的商品叢，一個理性的消費者必然會認為，比起所選擇的商品叢來，這一商品叢是不合適的”。（Samuelson，1947）換句話說，消費者根據自己的偏好所選擇的商品或商品組合必然是效用最大的，“效用最大化”正是通過消費者的選擇行為“顯示”出來的。

在上述基礎上，現代西方經濟學效用理論普遍使用“偏好”範疇來取代“效用”範疇，把效用僅僅看作是偏好的一個函數：即假定消費集（consumption set）或選擇集（choice set）X是k維實數空間R k中的一個非負子集，如果行為主體對集合X中的選擇束具有偏好關係，而這些偏好關係又能滿足完備性、自返性、傳遞性和連續性的假定（事實上，這些假定已經包含在“理性人”的預設中），則偏好關係就可以用一個連續的效用函數來表示，即存在一個函數u：X→R，使得x1﹥x2 ，當且僅當u（x1)> u（x2）。

·生理或者心理上的原因：重複刺激；

·商品本身用途的多樣性：先重后輕。

兩者都是研究消費者行為的一種理論。

後者是前者的補充和完善。兩者用的研究方法也不相同。前者用邊際效用分析法，後者用無差異曲線分析法

序數效用論

序數效用論是為了彌補基數效用論的缺點而提出來的另一種研究消費者行為的理論。其基本觀點是：效用作為一種心理現象無法計量，也不能加總求和，只能表示出滿足程度的高低與順序，因此，效用只能用序數（第一、第二、第三……）來表示。例如，消費者消費了巧克力與唱片，他從中得到的效用是無法衡量，也無法加總求和的，更不能用基數來表示，但他可以比較從消費這兩種物品中所得到的效用。如果他認為消費l塊巧克力所帶來的效用大於消費唱片所帶來的效用，那麼就叫一塊巧克力的效用是第一，唱片的效用是第二。

序數效用論採用無差異曲線分析法。

序數效用論用消費者偏好的高低來表示滿足程度的高低。該理論建立在以下假定上：

1、完備性，即指對每一種商品都能說出偏好順序。

2、可傳遞性，即消費者對不同商品的偏好是有序的，連貫一致的。若A大於B，B大於C，則A大於C。

3、不充分滿足性，即消費者認為商品數量總是多一些好。

一，效用的概念

商品的能力，消費者的滿足程度。

二，基數效用和序數效用

基數，序數，能否加總，能否比較。

19世紀和20世紀初期，基數效用普遍接受。

20世紀30年代以後，序數效用被常用。

三，序數效用論和邊際效用分析方法概述

1，邊際效用遞減規律

假設：基數效用，可計量，連續，可導。

邊際：表示一單位的自變數的變化量引起因變數的變化量。英語是Marginal，表示為MU。

邊際量=因變數的變化量/自變數的變化量

MU=

P71，表3-1，效用表，圖3-1，總邊際效用曲線，看曲線的趨勢

邊際效用遞減規律：一定時間內，其他商品消費量不變，某種商品消費量增加，消費者連續增加每一消費單位的效用增量是遞減的.

2，貨幣的邊際效用

3,消費者均衡：有限收入，組合消費，總效用最大.

均衡條件：（限制條件，均衡條件）P73

4，需求曲線的推導

商品的需求價格：一定時期內，對某種商品，消費者願意支付的價格。基數效用論者認為它取決於商品的邊際效用.

推導：均衡條件：MU/P=λ

MU遞減，λ不變，P只有同比例遞減.

圖示P77

5，消費者剩餘：消費者購買一定量的商品，願意支付的的價格與實際支付的價格之差額。圖示P78,

用公式表示為：

無差異曲線

序數效用論的分析方法

一，關於偏好的假定

1，偏好：愛好，喜好 (preference)

2，三個假定：完全性（完備性），可傳遞性（一致性），非飽合性（好東西多了好）

二，無差異曲線的特點

1，無差異曲線：偏好相同的商品組合點集.

兩種商品，簡化了，二維坐標，圖示P81

2，效用函數：U=f(X1,X2)

3，無差異曲線的三個特徵：

⑴，函數連續，曲線無數條，越遠越高

⑵，任何兩條線不會相交

⑶，凸向原點（右下傾斜，斜率為負且絕對值遞減，因為邊際替代率遞減)

三，商品的邊際替代率（MRS)

1，概念：MRS12=-ΔX2/ Δ X1

變化量趨於無窮小時，極限，導數形式

幾何意義：無差異曲線的斜率的絕對值

2，邊際替代率遞減規律：效用不變，一種商品消費增加，要放棄更少的另一種商品.

分析：它與邊際效用遞減規律實質一樣.

四，無差異曲線的特殊形狀

1，完全替代：直線，斜率不變，替代率不變

2，完全互補：固定比例同時消費，直角，一個水平，0替代率，一個垂直，無窮替代率.

一，含義

收入和價格給定，全部收入能買的商品組合.

預算等式：P1X1+P2X2=I

二，預算線的變動

1,P1和P2不變，收入I變，線平移，斜率不變.

2,P1/P2不變，收入I不變，線平移，斜率不變.

3，收入I不變，P1或P2中有一個變，線擺動

4,I,P1,P2同比例同向變，線不變.

圖P87

一，最優購買兩條件

1，最大效用的商品組合

2，錢花完

消費者均衡圖示P89

二，均衡條件

從均衡圖知，均衡點E處，無差異曲線和預算線的斜率相等，二者的絕對值分別是邊際替代率MRS12和商品價格比值P1/P2，故有：

MRS12=P1/P2，此即消費者均衡條件.

MU1/P1=MU2/P2=λ

基數（邊際）分析與序數無差異分析實質相同。

消費者均衡的變動

一，價格變化：價格—消費曲線

偏好，收入，其他商品價格均不變，只有一種商品價格變化的條件下，消費者效用最大均衡點的軌跡。

圖P92

二，需求曲線

由價格--消費曲線導出需求曲線，P92圖示

需求曲線右下傾斜，價格與需求量反向變化。

三，收入變化：收入--消費曲線

其他條件不變，收入變化時均衡點的軌跡。

即其他不變，收入變，預算線平移，均衡點（預算線與無差異曲線的切點）的軌跡。

正常品：收入--消費曲線向右上方傾斜，即收入與消費量同向變化。

劣等品：收入—消費曲線向後彎曲，即在一定收入水平后消費量與收入反向變化。

四，恩格爾曲線

表示消費量與收入的函數關係，即X=f(I)

恩格爾係數：食物消費佔總消費的比重。

替代效應與收入效應

一，二者的含義

1，收入效應：價格變化，實際收入變化，商品需求量變化。

2,替代效應：某商品價格變化，價格相對變化，商品需求量變動。

二，正常品的替代效應和收入效應

P97圖示

補償預算線：假設的分析工具，假設貨幣增減，目的是維持消費者實際收入不變。它平行於預算線且與無差異曲線相切。

正常品的替代效應和收入效應都與價格成反方向變動。

三，正常品與低檔品的區別與收入效應

正常品的需求量與收入同向變動，收入效應與價格成反向變動；低檔品的需求量與收入成反向變動，收入效應與價格成同向變動。所有物品的替代效應與價格都成反向變動。

四，低檔品的替代效應與收入效應

P100圖示

低檔品的替代效應與價格成反向變動，收入效應則與之相反，一正一負，一般是替代效應大於收入效應，即總效應與價格成反向變動，故其需求曲線是右下傾斜。

五，吉芬品的替代效應和收入效應

英國人吉芬發現，災荒時土豆的需求量與價格同向變化。

P101圖示

吉芬品是特殊的低檔品，其替代效應與價格成反向變動，收入效應與價格同向變動，這與低檔品相同，所不同的是，其收入效應大於替代效應，總效應與價格成同向變動。其需求曲線向右上方傾斜，即價格與需求量同向變動。

市場需求曲線

在某一價格水平上，所有單個消費者的需求量的加總就構成了市場的需求量，即由單個消費者的需求曲線加總後就得到了市場的需求曲線。

P103圖示

市場需求曲線也是向右下方傾斜。

進一步推導： MU1*ΔX1 = MU2 *Δ X2,

一，不確定性

信息不完備和不對稱導致經濟行為者不能事先確定某種決策的結果。

二，不確定性和彩票

風險：知道可能的結果及其發生的概率的不確定情況。

彩票：L=[p,W1,W2]

三，期望效用和期望值的效用

1，期望效用：

E{U[p,W1,W2]}=pU(W1)+(1-p)U(W2)

2，期望值的效用

U[pW1+(1-p)W2]

一，消費者的風險態度

1，風險迴避者：確定性效用大於風險條件下的期望效用。

U[pW1+(1-p)W2]>pU(W1)+(1-p)U(W2)

2,風險愛好者：確定性效用小於風險條件下的期望效用。

U[pW1+(1-p)W2]3，風險中立者：確定性效用等於風險條件下的期望效用。

U[pW1+(1-p)W2]=pU(W1)+(1-p)U(W2)

圖P107，風險迴避者的效用函數

二，降低風險的方法

1，多樣化

投資決策要選擇相關性小的項目，不將雞蛋放在同一個藍子里。

2，購買保險

將風險轉嫁給保險公司，雖然投保后財產的期望值沒變，但消除了風險，收益穩定。

3，獲取更多的信息

因為完全信息時不存在不確定性，所以要儘可能多的獲取信息。但獲取信息要支付成本，信息的價值等於完全信息決策與不完全信息決策所得期望收益的差額。

一，基數效用論的三大缺陷

1，效用主觀，難以衡量

2，不同的人效用不可比

3，邊際效用遞減規律不能被證明

二，序數效用論的缺陷

1，形式上改變了，實質上相同

2，不同類別的慾望，難有相應的商品替代

3，消費者難以對多種商品組合加以判斷

4，無差異曲線凸向原點不能保證

5，價格不進入序數論的效用函數，但違背事實

所謂效用可以計量，就是指消費者消費某一物品所得到的滿足程度可以用效用單位來進行衡量。所謂效用可加總求和是指消費者消費幾種物品所得到的滿足程度可以加總而得出總效用。根據這種理論，可以用具體的數字來研究消費者效用最大化問題。基數效用論採用的是邊際效用分析法。

效用概念有兩個特點：

1、是中性的

2、具有主觀性。效用會因人、因時、因地而異。

基數效用論認為效用大小是可以測量的，其計數單位就是效用單位。

基數效用論的基本缺陷

一基數效用論者認為，效用可以用“效用單位”來衡量，但是，他們既沒有也不可能回答一個“效用單位”是多大的問題。

二邊際效用遞減規律是基數效用論者分析需求曲線形狀的最重要的根據，但是，這個規律取決於人們的心理感受，很難得到驗證。

三需求曲線的背後其實是人們之間的邊際效用的互相比較，這更不具說服力。

四基數效用論隱含著收入的平均分配。

由於邊際效用遞減，因而物品的邊際效用的大小以及總效用的增減，同物品數量有著密切的關係。物品擁有量或消費量越多，邊際效用越小，當邊際效用等於零時，總效用達到最大值。以後，該物品的消費量如果繼續增加，則會產生負效用，總效用也會絕對地減少，這說明，在既定的收入和價格水平下，消費者對某種物品的消費並不是越多越好，而是有一個限度的問題，那麼，消費者如何將自己有限的貨幣收入花費在各種不同商品的購買上以求得最大的滿足呢？這就是一個消費者均衡的問題。為了說明消費者均衡，首先必須作下述假定：⑴消費者的偏好是既定的，對各種商品的效用和邊際效用是已知的，不會發生變動。⑵消費者的收入是既定的且全部用於購買商品和勞務。⑶消費者購買的商品價格是已知的。⑷每單位貨幣的邊際效用對消費者都相同。在上述假定條件下，西方經濟學家指出，消費者均衡的條件是：消費者用單位貨幣所購買的各種商品的邊際效用都相等，即消費者所購買的各種商品的邊際效用之比等於它們的價格之比。消費者均衡可以用邊際效用決定需求價格和邊際效用遞減規律來進行說明。為了分析的方便，我們假定消費者在市場上只購買兩種商品X和Y，由於收入和價格都是既定的，增加X的購買量就必須減少Y的購買量，購買量的變化，必然引起它們的邊際效用的變化。這就是說，如果消費者發現多花一元錢在一種商品上取得的增加的效用（邊際效用）不如多花一元錢在另一種商品取得的增加的效用大，他就會改變主意，把取得邊際效用較小的那種商品上的花費轉移到較大的邊際效用的商品上，由於花費轉移，原來取得邊際效用較小的商品，可能變得具有較大的邊際效用了，而原來取得邊際效用較大的商品，可能變得具有較小的邊際效用了。如果後者的邊際效用小於前者，那麼，就會再次發生花費轉移的情形，這樣，消費者根據邊際效用的大小，自由地改變花費的方向，最後，必須達到一種最優的花費狀態，他所花費的每一元錢都取得相等的邊際效用，或者每種商品的邊際效用之比等於他們的價格之比，總效用達到最大。消費者均衡的條件可用公式表示為：

（4.6)

上式中MUX和MUY分別表示X、Y兩種商品的邊際效用，MUm表示每一元錢的邊際效用（每單位貨幣帶來的邊際效用）。

實際上，一個消費者的行為總會受到限制，如貨幣收入的限制，票證定額的限制，等等。有限制條件的效用最大化，在數學上是條件極值問題，即有約束的最優化（constrained optimization）。這樣消費者均衡問題就可以用數學的方法證明如下：

1.代入法

如果消費者只購買兩種產品X，Y，約束條件為貨幣收入I，可用代入法求解如下：

目標函數 max (4.7)

約束條件 (4.8)

將式（4.8）移項並整理，可得：

（4.9)

將式（4.9）代入（4.7），可得：

（4.10)

為求得TU最大，令式（4.10）的一階導數等於0，

即：

（4.11)

如果式（4.10）的二階導數

即：（4.12)

則效用最大化的充分必要條件成立。

式（4.11）的經濟含義是：花在產品X，Y上最後一元錢的邊際效用相等。如果花最後一元錢所取得的邊際效用，產品X大於產品Y，追求效用最大化的消費者將增加X的消費量，減少Y的消費量。由於邊際效用遞減法則，新增X消費量的邊際效用下降，而所減Y消費量的邊際效用上升，X，Y的邊際效用最終會趨於相等。

2.拉格朗日乘數法

消費者均衡的條件也可以採用拉格朗日乘數法（Lagrange Multiplier Approach）求解。設消費者購買X，Y兩種產品，貨幣收入為I，則

目標函數 max TU = f (X，Y) (4.13)

約束條件 s.t. (4.14)

令

為求L最大，其必要條件為：

即：

則：

（4.15)

至於求L最大的充分條件，比較複雜，這裡從略。

為證明 為貨幣收入的邊際效用 分別求式（4.15）和（4.14）的微分

（4.16)

式（4.16）的經濟含義是：花在產品X，Y上最後一元所取得的邊際效用都等於一元貨幣的邊際效用。如果後者大於前者，消費者將減少消費，寧願多留一些貨幣；如果後者小於前者，消費者將增加消費，少留一些貨幣；最終，兩者將趨於相等。