同倫群

同倫群(homotopy groups)是基本群的高維推廣。基本群是從單位閉區間I到拓撲空間X的閉路的同倫等價類和其運算得到的。考慮n維歐氏空間R中的n維方體：

是 的邊界，即：

存在i使得，

設X為拓撲空間，x∈X，用M(X，x)表示全體連續映射α：( ， )→(X，x)所成的集合，α和α′相對於I的同倫關係αα′是M(X，x)上的一個等價關係，它把M(X，x)的元素分成一些同倫等價類，用π(X，x)表示這些等價類所成的集合。定義映射α*β：(I，I)→(X，x)，使得：

從而，α*β∈M(X，x)，並且，若α∽α′，β∽β′，則：

因此，可在π(X，x)中定義運算：

並且關於這一運算使它構成群，仍記為π(X，x)，稱為拓撲空間X的以x為基點的n維同倫群.1維同倫群就是基本群π(X，x).同倫群還有一種等價定義方式，它是用n維球面S代替n維方體I，這種定義給討論同倫群的性質有時帶來方便。類似基本群的討論，同倫群具有性質：當拓撲空間是道路連通空間時，其同倫群與基點選取無關；利用連續映射誘導的同倫群之間同態的一些性質得出，同倫群是同倫型不變數(更是拓撲不變的)；當n≥2時，同倫群π(X，x)是交換群，因而有時把運算寫成[α]+[β]。同倫群與同調群的一些基本關係：對於連通復形K的多面體|K|，1維同調群同構於基本群的交換化，即：

這裡[π(|K|)，π(|K|)]表示基本群π(|K|)的換位子群。高維同倫群與同調群之間的關係，由赫萊維茨(Hurewicz，W.)的同構定理給出：設|K|是連通復形K的多面體，當n≥2時，若|K|的1，2，…，n-1維同倫群都是平凡群，則π(|K|)xH(K)。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

基本群亦稱一維同倫群。對一個拓撲空間聯繫一個群的代數結構。在拓撲空間X中對於以同一點x為基點的兩條閉道路α和β可引入乘法*：

α*β是一條以x為基點的閉道路。這種乘法不一定滿足結合律，無法引入群結構。但是，在以x為基點所有閉路同倫類中，引入乘法：

[α]°[β]=[α*β]，

這種定義是有意義的，並且以x為基點的全體閉路同倫類在引入這種乘法后構成一群，稱為X的以x為基點的基本群，記為π(X，x).基本群可以不是交換群。對於道路連通空間X，其基本群與基點的選取無關，記為π(X).對於兩個拓撲空間X與Y之間的連續映射f：(X，p)→(Y，q)，它與X內以p為基點的閉路α的複合映射f°α是Y內以q為基點的閉路，並且兩條同倫的閉路與f的複合得出兩條同倫的閉路，因此，按照f([α])=[f°α]定義映射：

f： π(X，p)→π(Y，q)，

於是f為同態，稱為f誘導的同態。由此得出基本群是拓撲不變數，進而基本群也是同倫型不變數。

計算基本群常常是將所討論的空間“歸結”或“分解”為更簡單的空間以算出其基本群，這些常見的方法有：

1.利用基本群的同倫型不變性.

2.對於乘積空間可利用結論：當X和Y為道路連通空間時，π(X×Y) π(X)×π(Y).

3.利用覆疊空間理論.

4.利用范卡彭定理：若K是連通的復形，K，K，K都是K的連通的子復形，使得

α是K的一個頂點，i和i分別是K的多面體|K|到K和K的多面體|K|和|K|的包含映射，則|K|的基本群π(|K|，a)可從π(|K|，a)與π(|K|，a)的自由乘積中添加關係i(z)=i(z)得到，其中z取遍π(|K|，a)的一切元素。

范卡彭定理適用於可剖分空間，並可推廣到更一般的加一定限制的拓撲空間。例如，用以上方法可得到圓周S的基本群為π(S)Z，可縮空間的基本群為平凡群，默比烏斯(Mo¨bius，A.F.)帶M的基本群π(M)Z，環面T的基本群為π(T)Z×Z，n維球面S(n≥2)的基本群π(S)為平凡群，以及克萊因瓶K的基本群π(K){t，u|tut=u}(或{a，b|a=b})，這裡Z表示整數加群。