特殊酉群

特殊酉群(special unitary group)是酉群的一個重要子群。酉群U(K，f)的子群U(K，f)∩SL(K)稱為特殊酉群，記為SU(K，f).U(n)的特殊酉群記為SU(n)。若U(K，f)不是正交群，f是跡形式且指數≥1，則U(K，f)含有平延，稱為酉平延。此時U(K，f)中全體酉平延生成一個正規子群T(K，f)，稱為酉平延群。若K交換，則除U(K，f)=U(F，f)的情形外，T(K，f)=SU(K，f)。當U(K，f)是辛群時酉平延改稱辛平延，此時T(K，f)=Sp(K，f).SU(K，f)和T(K，f)在自然同態GL(K)→PGL(K)下的像PSU(K，f)和PT(K，f)分別稱為射影特殊酉群和射影酉平延群。除少數例外情形外，PT(K，f)是單群，例外情形是：Sp(F)，Sp(F)，Sp(F)及U(K，f)≠Sp(K，f)時是：PU(F，f)，PU(F，f)，PU(F，f)。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

典型群是一類重要的群。一般線性群、酉群、辛群、正交群，以及它們的換位子群、對中心的商群等統稱為典型群。實數域和複數域上的典型群是李群的重要例子，它們的構造及表示在李群理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起著重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型群的構造的研究得到了一大批有限單群。這是繼交錯群之後人們發現的又一批重要的有限單群系列。經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單群的系列后，為有限單群分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型群的構造也得到了大量的單群。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型群的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H

酉群

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酉群是一類重要的典型群。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次酉群，記為U(n)。一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裡H∈GL(K)且=εH，ε=±1.若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換。關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子群，稱為關於f的酉群，記為U(K，f).從矩陣的觀點看，U(K，f)={A∈GL(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時U(K，f)就是辛群Sp(K，f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U(K，f)就是正交群O(K，f);當K是複數域，J是復共軛，H=I時，酉群U(K，f)就是酉群U(n)。

特殊線性群中的平延

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特殊線性群亦稱幺模群。一般線性群的一個重要的子群。對A∈GL(K)，若矩陣A-I的秩是1並且(A-I)=0，則稱A為平延。GL(K)中所有的平延生成一個正規子群，稱為K上n次特殊線性群，記為SL(K)。SL(K)也可由全體形如I+λE(i≠j，λ∈K)的初等矩陣生成，這裡E表示第(i，j)元素為1，其餘元素為0的n×n矩陣。當K交換時，SL(K)就是GL(K)中行列式為1的全體矩陣組成的子群。除SL(F)外，SL(K)是GL(K)的換位子群。