酉群

因為酉矩陣的行列式是模長 1 複數，行列式給出了一個群同態

這個同態的核是行列式為單位的酉矩陣集合，這個子群稱為特殊酉群，記作 SU(n)。

這個短正合列分裂，故 U(n) 可以寫成 SU(n) 與 U(1) 的半直積。這裡 U(1) 是 U(n) 中由 形式的矩陣組成的子群。

酉群 U(n) 對 是非交換的。U(n) 的中心是數量矩陣λI，這裡 。這由舒爾引理得來。這樣中心同構於 U(1)。因為 U(n) 的中心是一個 1 維阿貝爾正規子群，酉群不是半單的。

酉群 U(n) 作為 的子集賦予相對拓撲，是所有復矩陣集合，本身同構於維歐幾里得空間。

作為一個拓撲空間，U(n) 是緊連通空間。因為 U(n) 是的一個有界閉子集，然後海涅-波萊爾定理可知緊性。欲證 U(n) 是連通的，回憶到任何酉矩陣 A 能被另一個酉矩陣 S 對角化。任何對角酉矩陣的對角線上都是絕對值為 1 的複數。從而我們可以寫成

U(n) 中從單位到 A 的一條道路由

給出。

酉群不是單連通的；對所有 n，U(n) 的基本群是無限循環群

第一個酉群 U(1) 是一個拓撲圓周，熟知其有同構於 Z 的基本群，包含映射 在上是同構（其商是斯蒂弗爾流形）。

行列式映射 誘導了基本群的同構，分裂映射 誘導其逆。

酉群是正交群、辛群與複數群的 3 重交集：

從而一個酉結構可以視為一個正交結構、復結構與辛結構，他們要求是“一致的”（意思是說：復結構與辛形式使用同樣的 J，且 J 是正交的；取定一個 J 將所有群寫成矩陣群便確保了一致性）。

事實上，它是這三個中任何兩個的交；從而一個一致的正交與復結構導致了一個辛結構，如此等等。

在方程的層次上，這可以有下面看出

辛：,

復： ,

正交： ,

任何兩個方程蘊含第三個。

在形式的層次上，這可從埃爾米特形式分解為實部與虛部看出：實部是對稱的（或正交），虛部是斜正交（辛）——他們由復結構聯繫（這便是一致性）。在一個殆凱勒流形上，可以將這個分解寫成，這裡 h 是埃爾米特形式，g 是黎曼度量，i 是殆復結構，而 ω 是殆辛結構。

從李群的觀點來看，這可部分地解釋如下： 是 的極大緊子群，而 U(n) 是與 的極大緊子群。從而交集 或 是這些群的極大緊子群，即 U(n)。從這個觀點來看，意料之外的是交集 。

結構：殆埃米爾特

用 G-結構的語言來說，一個具有 U(n)-結構的流形是一個殆埃米爾特流形。

從李群的觀點來看，典型酉群是斯坦伯格群 的實形式，後者是由一般線性群的“圖表自同構”（翻轉 Dynkin diagram A，對應於轉置逆）與擴張的域同構（即復共軛）的複合得到的代數群。兩個自同構都是代數群的自同構，階數為 2，可交換，酉群作為代數群是乘積自同構的不動點。典型酉群是這個群的實形式，對應於標準埃爾米特形式 Ψ，它是正定的。

這可從幾個方面推廣：

推廣到其它埃爾米特形式得到了不定酉群；

域擴張可用任何 2 階可分代數取代，最特別地是一個 2 階有限域擴張；

推廣到其它圖表得出李型群，即其它斯坦伯格群, （以及）Suzuki-Ree 群；

考慮一個推廣的酉群作為代數群，可取它的點在不同的代數上。

類似於不定正交群，給定一個不必正定（但一般取為非退化）的埃爾米特形式，考慮保持這個形式的變換，我們可以定義不定酉群。這裡我們在復向量空間上考慮問題。

給定復向量空間 V 上的一個埃爾米特形式 Ψ，酉群 U(Ψ) 是保持這個形式的變換群：變換 M 使得 ，對所有。寫成矩陣，設這個形式用矩陣 Φ 表示，這便是說。

就像實數上的對稱形式，埃爾米特形式由符號確定，所有都是酉合同於對角線上 p 個元素為 1，q 個 - 1 的對角矩陣。非退化假設等價於。在一組標準基下，這代表二次形式：

作為對稱形式是：,得出的群記為。

在 個元素的有限域上，有一個唯一的 2 階擴張域，帶有 2 階自同構（弗羅貝尼烏斯自同構的 r 次冪）。這使得我們可以定義上一個向量空間 V 上的埃爾米特形式，是一個-雙線性映射使得以及 對。另外，有限域上向量空間的所有非退化埃爾米特形式都酉合同與用恆同矩陣表示的標準形式。這便是說，任何埃爾米特形式酉等價於

這裡表示在 n-維空間 V 的某個特定-基下的坐標(Grove 2002, Thm. 10.3)。

從而我們對擴張可以定義一個（唯一的）n 維酉群，記作 或（取決於作者的習慣）。酉群中矩陣的行列式為 1 的子群稱為特殊酉群，記作 或 。為方便起見，本文使用 寫法。的中心的階數為由為酉數量矩陣組成，這便是所有矩陣，這裡。特殊酉群的中心的階數為，由那些階數整除 n 的酉數量矩陣組成。酉群除以中心的商稱為射影酉群，，特殊酉群除以中心是射影特殊酉群。在大多數情形（與），是完全群而是有限單群(Grove 2002, Thm. 11.22 and 11.26)。

更一般地，給定一個域 k 與一個 2 階可分 k-代數 K（可能是一個域擴張但也未必），我們可以定義關於這個擴張的酉群。

首先，存在 K 的唯一 k-自同構是一個對合且恰好不動元為 k（當且僅當 )。這是復共軛與 2 階有限域擴張共軛的推廣，從而我們可以在它上面的定義埃爾米特形式與酉群。

定義酉群的方程是一些 k 上的多項式方程（但不是在 k 上）：對標準形式，這些方程由矩陣給出，這裡 是 共軛轉置。給定另外一個形式，它們是。從而酉群一個代數群，它在一個 k-代數 R 上的點由

給出。

對域擴張與標準（正定）埃爾米特形式，這得出了具有實點與復點的代數群：

一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，；

(2)結合律，即(；

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

群是現代數學中最重要的具有概括性的概念之一，有關群的性質及其結構的理論稱為群論。

1831年，年僅20歲的青年數學家伽羅華得到n次方根可否通過對係數施行四則 和開方運算來求解的判據，一舉解決了五 次以上代數方程求解的千古難題。這個問題得以解決，取決於他對置換群性質所作的深入討論，群的概念就在這時產生了。現在研究代數方程的性質與群的性質之間的關係已成為一門大理論伽羅華理論所研 究的對象，伽羅華理論在群論的發展中起 作決定性的作用。40年後克萊因的變換群導致幾何觀的一次革命; 索福斯·李研究 微分方程，開創李群論，更深刻影響著數 學物理的發展。在數學物理的對稱現象的 研究中，對稱的概念看來是明顯的，但對 對稱概念的精確和一般的描述，特別是對 稱性質量上的計算，卻要用群論這個工具 才行。19世紀到20世紀，在幾何、晶體等 物理、化學中，都弄清了對稱規律的重要 意義，因此群論的方法和結果得以廣泛使 用。1890年，費道洛夫用群論闡明晶體結 構的幾何形態，特別是20世紀30年代，書爾、維格納等人把群論應用於量子力學 取得成功，導致了原子、分子結構的重要 發現。現在群論已經是量子物理和量子化 學常用的工具了，這更使群論走出了純數 學專業的數學王國，活躍於更廣闊的科學 地。今天，群的概念已普遍被認為是數學 及其許多應用中最基本的概念之一，它不 但滲透到像幾何學、代數拓撲學、函數論、泛函分析及其他許多數學分支中而著重要 的作用，還形成了一些新學科，如拓撲群、李群、代數群、算術群等。它們還具有與 群結構相聯繫的其他結構，如拓撲、解析 流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、量子化學以至編碼學、自動機理論等方面 都有重要應用。作為推廣“群”的概念的 產物，群論及其在計算機科學中的應用，也有很大的發展。

群的概念中有兩個方面：一是指出它 的元素是哪些事物，二是元素間運算的規 則，可分別用它們來研究群。研究群的元 素和元素集合的各種性質，以及它們同群 的運算性質之間的聯繫，這常常是研究各 種具體的群，如交換群、置換群、運動群、拓撲群等; 也可研究完全由群的運算性質 表示出來的特性，它屬於抽象群論或一般 群論。下面是一些抽象群論的概念：同構，一個群的元素與另一個群的元素對應，運 算結果也是對應的，稱兩個群同構; 一個 群所含元素的個數稱為群的階，群G的階 記為|G| ，|G|有限時為有限群，無限 時為無限群; 同構中兩個群中的元素是一 一對應的，若存在多對一的對應則稱為同 態。