四維空間說

一維是線，二維是面，三維是靜態空間，四維是動態空間（因為有了時間），當然這只是一種說法，並不是說第四維就是時間。

我們在物理學中描述某一變化著的事件時 所必須的變化的參數。這個參數就叫做維。幾個參數就是幾個維。比如描述“門”的位置就只需要角度所以是一維的 而不是二維

簡單地說：0維是點，沒有長、寬、高。一維是由無數的點組成的一條線，只有長度，沒有寬、高。二維是由無數的線組成的面，有長、寬沒有高。三維是由無數的面組成的體，有長寬高。維可以理解成方向。

因為人的眼睛只能看到二維，所以三維以上很難解釋。正如一個智力正常，先天只有一隻眼睛，一隻耳朵的人(這樣就沒有雙眼效應，雙耳效應),他就很難理解距離了，他很可能認為這個世界是2維的.

一個簡單的說法：N維就是N條直線兩兩垂直所形成的空間

因為，人類只能理解到3維，所以後面的維度可以通過數學理論構建，但要仔細理解就很難。在量子力學，目前仍在建立的弦理論，認為世界是11維的.

對於愛因斯坦的四維空間，人們普遍認為空間有軸對稱性，或是中心對稱。譬如，倘若一個三維空間的人進入四維空間，那麼他也許會被‘軸對稱’一下。當然，由於沒有人進入四維空間，所以這只是一個假設。但是關於時間軸的觀點以及時空錯亂瞬間的現象與這是相符的。

根據愛因斯坦相對論所說：我們生活中所面對的三維空間加上時間構成所謂四維空間。由於我們在地球上所感覺到的時間運行很慢，所以不會明顯的感覺到四維空間的存在，但一旦登上宇宙飛船或到達宇宙之中，使本身所在參照系的速度開始變快或開始接近光速時，我們能對比的找到時間的變化。如果你在時速接近光速的飛船里航行，你的生命會比在地球上的人要長很多。並且，鍾在飛行的火箭中變慢也用事實證實了這一點。這裡有一種勢場所在，物質的能量會隨著速度的改變而改變。所以時間的變化及對比是以物質的速度為參照系的。這就是時間為什麼是四維空間的要素之一的原因。

什麼是四維？現在的說法是三維空間加上時間這一維，構成所謂的四維空間。然而，這種說法是一擊即破的。為什麼？

我們可以從二維來考慮。一個二維生物（如果有的話），他們考慮所謂的三維空間絕對和我們所認識的三維空間不同——它們會把時間作為第三維，因為他們無法感受這一維的存在。同樣，我們現在也走進了這個誤區，把時間算做第四維。可能四維生物看到我們在宣揚這種思想時，也在為我們嘆息。那麼時間算不算一維？在我看來，時間應該算是一維，即在多維生物本身的維度之外再加N維，構成新的M+N維空間，而且這樣也有助於幫我們解決一些問題，也可以使我們對比三維維度更高的空間加深認識。

有一個更新的構想，即所有的維度都是由時間構成，沒有時間，就沒有空間，包括最基本的一維空間。這應該好理解，因為沒有時間，空間本身的存在就沒有任何意義，因為時空本身就是不能分割的整體。那麼，為什麼一種時間可以形成不同的維度空間？這裡，我們可以把時間看成是一種可以分解的常量。時間可以分解，這一句話理解起來可能有點困難。但是，只要想通了道理也是很簡單的。要明白這個道理，首先必須了解兩點。第一是時空的不可分性，這一點估計大家都明白，離開了空間談時間，或者離開了時間談空間，都是毫無意義的。第二點是時間的多樣性，這一點了解起來可能有一點麻煩。在日常生活中，我們接觸到的都是時間的合成體，也就是各個分時間有機結合形成的一個總的時間體系。可能你們會覺得我是在狡辯，其實不是。只要你們換一個角度去想，一個結果，可能是幾個不同的原因形成的。就拿運動來說，我們觀察到的一般都是幾個不同運動產生的一種運動的結合體，即合運動。關於時間，我們也可以這樣去想。我們看到的時間結合體，可以是由物體運動的時間，歷史時間（即經歷時間）和其他的一些時間構成。而運動時間，我們又可以看成由上下運動的時間，左右運動的時間和前後運動的時間。當然，劃分方法是多樣的，這就構成了時間的多樣性，至於如何去劃分，這就要由不同的情況而定。一部分時間對應一段空間。在這個不完整的空間里，時間起到了決定性的作用。

我們之所以是三維生物，是因為這個維度的空間里只存在三維的時間。時間的不完整決定了空間的不完整。我們不能認識其他維度的空間，是因為我們不具備在那個空間裡面運動的時間。時間的多樣性決定的空間的多樣性。同時，因為時間的不同分解方式，註定了我們的三維空間也是相對的，它可以被命名為一維，二維，甚至是任意維——完全取決於不同的分解方式。時間是決定維度的關鍵，同時，它也是決定低維物體高維存在方式的關鍵。讓我們看看科學上的說法：低維是空間上的缺陷，它們不具備在高維世界內運動的空間。關於這一點，有一個疑問，那就是我們怎麼可以發現這個缺陷。我們認為的低維不存在某一個空間長度，是因為我們無法確定它有那一個長度，也就是我們現在用最好的設備也無法觀察到那一個長度差。那麼，將來呢？我們現在無法認證，可能將來會有人證明那個低維物體確實屬於高維。因此，低維與高維並不存在所謂的空間差。那麼，我們如何區別高維與低維？很簡單，用時間。用時間去解釋任何一個維度空間，我們也可以認為，低維之所以比高維低級，是因為它們存在時間上的缺陷，它們無法在時間範疇內感受高維的存在。所以，我們要去了解低維或者高維，先要知道它們存在的時間範圍。高維與低維之間可以實現轉化，道理是很簡單的，只要加入或者去掉一個時間單位就可以了。然而說起來很容易，做起來卻很複雜，我們對時間的概念都是如此模糊，要想在空間範圍內實現時間的轉化就更困難。

對四維空間，一般人可能只是認為在長、寬、高的軸上，再加上一根時間軸，但對於其具體情況，大部分的人仍知之甚少。有一位專家曾打過一個比方：讓我們先假設一些生活在二維空間的扁片人，他們只有平面概念。假如要將一個二維扁片人關起來，只需要用線在他四周畫一個圈即可，這樣一來，在二維空間的範圍內，他無論如何也走不出這個圈。現在我們這些生活在三維空間的人對其進行“干涉”。我們只需從第三個方向（即從表示高度的那跟軸的方向），將二維人從圈中取出，再放回二維空間的其他地方即可。對我們這些三維人而言，四維空間的情況就與上述解釋十分類似。如果我們能克服四維空間，那麼，在瞬間跨越三維空間的距離也不是不可能。

從零維空間到四維空間—淺談幾何中的純概念研究（馬利進 隴東學院數學系 甘肅慶陽 745000）

摘要

幾何不一定是真實現象的描述，幾何空間和自然空間並不能完全等同看待，純概念的研究幾何的發展是數學界的一個里程碑。從零維空間到三維空間，尤其是從三維空間到四維空間的發展更是幾何學的的一次革命。

關鍵詞

零維；一維；二維；三維；四維；n維；幾何元素；點；直線；平面。

n維空間概念，在18世紀隨著分析力學的發展而有所前進。在達朗貝爾。歐拉和拉格朗日的著作中無關緊要的出現第四維的概念，達朗貝爾在《百科全書》關於維數的條目中提議把時間想象為第四維。在19世紀高於三維的幾何學還是被拒絕的。麥比烏斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的計算》中指出，在三維空間中兩個互為鏡像的圖形是不能重疊的，而在四維空間中卻能疊合起來。但後來他又說：這樣的四維空間難於想象，所以疊合是不可能的。這種情況的出現是由於人們把幾何空間與自然空間完全等同看待的結果。以至直到1860年，庫摩爾（ernst eduard kummer 1810-1893）還嘲弄四維幾何學。但是，隨著數學家逐漸引進一些沒有或很少有直接物理意義的概念，例如虛數，數學家們才學會了擺脫“數學是真實現象的描述”的觀念，逐漸走上純觀念的研究方式。虛數曾經是很令人費解的，因為它在自然界中沒有實在性。把虛數作為直線上的一個定向距離，把複數當作平面上的一個點或向量，這種解釋為後來的四元素，非歐幾里得幾何學，幾何學中的復元素，n維幾何學以及各種稀奇古怪的函數，超限數等的引進開了先河，擺脫直接為物理學服務這一觀念迎來了n維幾何學。

1844年格拉斯曼在四元數的啟發下，作了更大的推廣，發表《線性擴張》，1862年又將其修訂為《擴張論》。他第一次涉及一般的n維幾何的概念，他在1848年的一篇文章中說：

我的擴張的演算建立了空間理論的抽象基礎，即它脫離了一切空間的直觀，成為一個純粹的數學的科學，只是在對（物理）空間作特殊應用時才構成幾何學。

然而擴張演算中的定理並不單單是把幾何結果翻譯成抽象的語言，它們有非常一般的重要性，因為普通幾何受（物理）空間的限制。格拉斯曼強調，幾何學可以物理應用發展純智力的研究。幾何學從此開始割斷了與物理學的聯繫而獨自向前發展。經過眾多的學者的研究，遂於1850年以後，n維幾何學逐漸被數學界接受。

以上是n維幾何發展的曲折歷程，以下是n維幾何發展的一些具體過程。

首先，我們將點看作零維空間，直線看作一維空間，平面看作二維空間，並觀察以下公設：

屬於一條直線的兩個點確定這條直線。

1.1 屬於一條直線的兩個平面確定這一條直線。（比較這個公設和公設1.1）。

1.2 屬於同一個點的兩條直線也屬於同一個平面。（公設1.2的推論）

1.3 屬於同一個平面的兩條直線，也屬於同一個點。

1.4 可以推斷出：

1. 具有相同維數的兩個空間，在某些條件下，確定另一個高一維的空間。例如：兩個點（我們將它們看作兩個零維空間）確定一條直線（一維空間）。屬於同一個點（規定的條件）的兩條直線（兩個一維空間）也屬於同一個平面（二維空間）。

2. 具有相同維數的兩個空間，在某些條件下，也可以確定一個低一維的空間。例如：兩個平面（兩個二維空間）確定一條屬於它們的直線（一維空間）。屬於同一平面（限定的條件）的兩條直線（兩個一維空間）確定一個點（零維空間）。

3. 結論2沒有包括這一事實，即兩個平面可以確定一個高一維的空間。它只假定它們確定一條直線，這是比平面低一維的空間。這就留下了一個把我們的思想引申到高維空間的缺口。這個缺口的消除可在推論1.3“屬於同一個點的兩條直線也屬於同一個平面”中，用幾何元素直線、平面和三維空間依次的代替幾何元素點、直線和平面來達到。

下面的推論是替換的結果。屬於同一條直線的兩個平面也屬於同一個三維空間。

有了這個新的推論，我們就把與其他幾何元素直接對應的幾何元素——三維空間也包括了。

下一步是把對偶原理應用於這一推理，並從這些新引申的推論中得到一些固有的結論。在對偶原理將通過幾何元素——平面和空間的位置交換而被應用。這時我們得到下述推論：

屬於同一條直線的兩個三維空間也屬於同一個平面。

1.5 從推論1.5我們可以得到下述公設：

屬於一個平面的兩個共存的三維空間確定這一個平面。

1.6 在上述1.5和1.6的基礎上，可以提出下面的看法：

1. 四維空間的幾何條件是很明顯的，因為維數相同的兩個已知空間，只能共存於比它們高一維的空間里。例如：兩條不同的共存直線（一維）位於一個平面內（二維）；兩個不同的共存平面(二維)（沿一直線共存）位於一個三維空間里；兩個不同的共存三維空間（沿一個平面共存）位於一個四維空間里。

2. 在幾何上被看作是不屬於同一直線而相交於一點的兩個平面，屬於不同的各別的三維空間。

四維空間的概念也可以通過解析幾何的手段來研究。在那裡我們可以利用代數方程來表示幾何概念。為了利用這個手段進行觀察以導致對四維空間的理解，我們來研究三維空間體系中的三個幾何元素——點、直線和平面的方程。利用笛卡爾系統表示，我們可以寫出：

點的方程：ax + b = 0 （坐標系：直線上的一個點）。

直線的方程：ax + by + c = 0 （坐標系：平面上的兩條正交直線）。

平面的方程：ax + by + cz + d = 0 (坐標系：三維空間的三個互相垂直的平面)。

從上面的研究我們可以看出：

所表示的每一個幾何元素（或空間）的方程中的變數數目，等於這個空間的維數加1。

坐標系中的幾何元素與被表示的幾何空間的幾何元素的維數相同。

在這個坐標系中，幾何元素的數目等於被表示的空間的維數加1。在坐標系中，幾何元素的這個數目是最低要求。

用來表示幾何元素的坐標系，位於比它所含有的幾何元素高一維的空間里。

根據上述觀察，我們可以寫出三維空間的下述方程。應當注意：這個方程有四個變數（x、y、z、u）。

ax + by + cz + du + e = 0

現在我們可以斷定：

1. 這個坐標系的幾何元素有三維，即它們是三維空間。

2. 在這個坐標系中有四個三維空間。

3. 這個坐標系位於一個四維空間里。

我們對於四維空間乃至更高空間的研究，不是通過實驗總結的方式，在現實中我們很難發現並推導出它們的一般規律，對於這些問題，我們可以採取一種新的研究方式。即：純概念的研究。通過這種方式，我們可以容易的推導出這些很重要但在現實中不易想象的新內容。

正宗的維數研究方法通常離不開人存在原理。譬如講，如果空間是兩維的，則兩維動物則不能正常消化。如果空間是四維以上，則世界就會精彩得多。如果我們是四維空間的動物，則彭加萊關於三維球的猜想則不應該是世紀難題。可惜多於三維的空間使萬有引力和靜電力隨距離的變化比三維中更劇烈，使得小至原子核的電子，大至太陽系中的行星給到不再穩定，很快就以旋渦的方式向遠處飛離或者撞到中心上。

許多人不能接受人存在原理，認為他和科學傳統相違背。科學的方法是從第一原理出發，把萬物甚至觀察者全推出來。人存在原理卻是從觀察者存在的條件把宇宙推出來，他們正好處與相反的兩極。

霍金認為宇宙的邊界條件是他沒有邊界。用卡魯查-克萊因模型論述，時空本是高維的，而我們之所以感到它是四維的，那是因為額外維都被捲去到我們無法觀察到的小尺寸去，比如普朗克尺度。正如一根頭髮的表面雖然是二維的，但是粗看之下，只剩下頭髮長度那一維一樣。人們稱感覺到的空間為外空間，覺察不到的為內空間。時間是外空間中的一維。

在用量子宇宙學研究時空維數的濟起源時，必須避免人為的調節卡魯查-克萊因的總維數，以得到需要的外空間維數。因為人為的調節會陷入邏輯循環，這種做法是你想得到多少維的空間都能如願。因此，可用的卡魯查-克萊因模型其總維數必須是由第一原理推出的。十一維的超引力模型便由第一原理推出的。自然界也許存在一種所謂的超對稱。

1980年弗隆德和魯賓發現了一個十一維超引力的非常美麗的宇宙模型，其內空間是七維球，外空間是四維球。但在經典的框架中，人們無法證明不存在具有其他維數的外時空的解。

在量子宇宙學中，瞬子是宇宙創世的籽。瞬子是愛因斯坦方程和其他場方程的解，其中時間和空間坐標不能區分。十一維超引力的創生宇宙的瞬子必須是四維球和七維球空間兩個因子空間的乘積。時間若包圍在四維中，四維時空隨後便展開演化成我們生活中的並感覺到四維的宏觀宇宙，否則外時空便是七維的。

在帶電荷的黑洞創生場景中，宇宙波函數要使用正確的表象，才能算出創生的概率。因為規則瞬子是非常稀罕的，所以研究一般黑洞的創生，必須引進約束引力的概念。找到正確表象不僅對於帶電荷而且對於旋轉黑洞的波函數至關重要。

從同一瞬子出發，在選擇正確的表象后，時間在四維球中的創生概率遠遠大於時間在七維流形中的概率。因此，在量子宇宙學中證明了外時空必須是四維的。

在數學上有各種多維空間，但目前為止，我們認識的物理世界只是四維，即三維空間加一維時間。現代微觀物理學提到的高維空間是另一層意思，只有數學意義。

四維時空是構成真實世界的最低維度，我們的世界恰好是四維，至於高維真實空間，至少現在我們還無法感知。我在一個帖子上說過一個例子，一把尺子在三維空間里（不含時間）轉動，其長度不變，但旋轉它時，它的各坐標值均發生了變化，且坐標之間是有聯繫的。四維時空的意義就是時間是第四維坐標，它與空間坐標是有聯繫的，也就是說時空是統一的，不可分割的整體，它們是一種“此消彼長”的關係。

四維時空不僅限於此，由質能關係知，質量和能量實際是一回事，質量（或能量）並不是獨立的，而是與運動狀態相關的，比如速度越大，質量越大。在四維時空里，質量（或能量）實際是四維動量的第四維分量，動量是描述物質運動的量，因此質量與運動狀態有關就是理所當然的了。在四維時空里，動量和能量實現了統一，稱為能量動量四矢。另外在四維時空里還定義了四維速度，四維加速度，四維力，電磁場方程組的四維形式等。值得一提的是，電磁場方程組的四維形式更加完美，完全統一了電和磁，電場和磁場用一個統一的電磁場張量來描述。四維時空的物理定律比三維定律要完美的多，這說明我們的世界的確是四維的。可以說至少它比牛頓力學要完美的多。至少由它的完美性，我們不能對它妄加懷疑。

在狹義相對論中，時間與空間構成了一個不可分割的整體——四維時空，能量與動量也構成了一個不可分割的整體——四維動量。這說明自然界一些看似毫不相干的量之間可能存在深刻的聯繫。在今後論及廣義相對論時我們還會看到，時空與能量動量四矢之間也存在著深刻的聯繫。

事件一：

1960年，在神秘的百慕大海域也發生一件怪事。在眾多旁觀者面前，美國的戰鬥機被雲吞噬，就此消失。

目擊者之一H·維克多回憶說：“當時我在金德雷空軍基地的人工衛星站工作。那天氣候良好，空中除了一朵雲之外，一片晴朗。

“五架戰鬥機從事訓練飛行。包括我在內，很多基地人員都在觀賞天空的情況，五架戰鬥機在離海岸800米的上空衝進一朵飄浮的白雲中，拚命伸長脖子望著天空，但是它始終未再出現。

“基地頓時騷動起來。控制塔的指揮自始至終都是目擊者，他也一樣沒有看到任何物體從雲中掉到海上，雷達屏幕上也顯示出本來的五架戰鬥機的影子，突然間地消失了一架，立即引起官方注意，而派出搜索隊。

“搜索的範圍是基地的海岸到800公尺外的淺灘。 “找了又找，連一個戰鬥機破片也沒有發現。那朵白雲吞噬了一架戰鬥機，在不知不覺中消失了……”

1968年6月1日又出現了一件古怪的事，那天，在南美洲阿根廷首都布宜諾斯艾利斯郊外，兩輛汽車正在高速公路上行駛。一輛坐著律師畢特耳夫婦，另一輛載著他們的朋友——哥登夫婦，他們的目的地是150公裡外的麥布市。哥登夫婦一路領先，不久，汽車在暮色中到達麥布市郊，回頭往後一看，畢特耳夫婦的車子不見了，他們還以為律師車子發生了故障，進城后，他倆分頭打電話給沿途的村鎮，又派人沿高速公路搜索。

兩天過後，一無所獲，哥登夫婦只好報警。就在同一天，哥登接到墨西哥打來的長途電話，說話人竟是畢特耳律師本人。原來他們遇到了一件不可思議的奇事：

當畢特耳夫婦的車子經過雪斯哥姆市后，車子前方突然白霧籠罩，不久，車身全被白霧包圍。畢特耳看錶，時間是午夜12點10分，就在這時，夫婦倆忽然昏迷過去。也不知經過多少時候，他們蘇醒過來，天色已經放亮，車子仍然在高速公路上行駛。奇怪的是，路上的風光景色，以及行人的穿戴服飾，都和阿根廷不同，停車一問，真叫人大吃一驚：原來他們已在墨西哥城了！阿根廷距離墨西哥最少也有6000公里，他們怎麼會把車子從阿根廷開到墨西哥的呢？律師先生自己也說不出個頭緒來。

畢特耳夫婦趕快打電話給阿根廷駐墨西哥的領事館，要求幫忙，這時，他們兩人的錶針都停在12點10分，而實際上，這天已是6月3日了。像這種怪事，世界上已發現過多次，所以，引起了許多科學家的注意。

1934年，在美國菲拉狄爾菲亞港，有一艘滿載官兵的驅逐艦，正啟程遠海駛去。突然，一陣波濤襲來，還沒等司舵把穩方向，轉瞬間，這艘船卻神奇地在弗台尼亞洲東南部的諾福克海港出現了。

艦長、大副、領航、司舵和水手們個個睜大了眼睛，面面相覷，誰也不知道發生了什麼事情，艦長緊蹙雙眉的納悶著菲拉狄爾菲亞港和諾福克港之間距離500多公里，在短促的時間裡，怎麼可能由一個港口航行到另一個港口：況且大副、領航、司舵又沒失職，層層控制著這艘船，又怎麼會發生這種不可思議的事情？真是莫名其妙！……

1956年5月10日，美國西部俄克拉荷馬州一個叫做奧塔斯的城市裡，八歲的小孩吉米正和小夥伴特姆、肯一起玩“捉強盜“的遊戲。由吉米爬上附近一家人家的圍牆，抓住從圍牆下通過的肯。正玩在興頭上，吉米忽然大喊一聲：“肯，等一下！”就從圍牆上跳了下來，就在這一霎那間，吉米不見了人影，特姆和肯大吃一驚，急忙喊道：“喂！吉米！”“吉米！你藏到哪兒去啦？快出來！”

兩個孩子聲嘶力竭地呼喚著自己的夥伴，但是聽不到任何迴音，吉米仍然杳無蹤影。人們聽說吉米在兩個同伴眼前突然失蹤，頓時轟動起來。吉米的媽媽急忙和警察局報告，警方以為發生了誘拐兒童的案件，立即出動進行搜查，但是毫無結果。

一個月過去了，有一天，吉米的母親也出乎意料地失蹤了。當時由於沒有人在現場，不知道她失蹤時的情形。但是，連續發生兩起突然失蹤的事件使警方緊張起來，再次進行全面偵查，仍然一無所獲。吉米母子倆為什麼會去向不明，一直無人知曉。

【科學家的解釋】

科學家認為：地球和某種神秘世界之間，存在著一種不可捉摸的通道。通道的兩邊是兩個不同層次的世界。研究這種現象的人，把藏在通道另一側的神秘世界，稱作“四度空間”（四維空間）。

宇宙是無窮無盡的，在浩瀚無涯的宇宙中，還蘊藏著無數的秘密。科學家們對“四度空間”深入探索將會揭開這“神秘世界”之謎。所謂“四度空間”的奧秘，必定在不久的將來被人類所認識。

如果問一個知道初速和質量的炮彈在空間中的運動軌跡，這沒法回答，因為除了3維空間，還有三個因素，在運動中起主要作用：時間、引力和阻力。這個空間是在地球上還是月球上，運動時間長短，將有不同結論。使得結論比較準確的方法是用6維來描述空間。

同理，溫度、壓力、密度等等，很多因素都可成為影響科學結論的一維來影響空間。則綜合作用下的空間，就是多維空間。而不僅僅限於時間加空間的4維。

現代物理學界公認的理論是八維空間，分為X維（物體的長）、Y維（物體的寬）、Z維（物體的高）、時間維、重力維、電磁力維、萬有引力維、萬有斥力維。這一理論由德國物理學家巴克哈德 海姆於1957年創立。這與我們今天認識的多維空間比較接近了，也是實驗可以證實的，而不是弦理論提出的一些不可證實的空間，但其局限性是顯而易見的，科學又進步了。