結合代數

一種代數系統，類似於群、環、域，而更接近於環。結合代數的研究，早在19世紀50年代，W.R.哈密頓考察四元數、H.G.格拉斯曼引入向量乘法以及A.凱萊等人討論矩陣代數之時就已開始，其目標是刻畫各種類型的結合代數的結構和表示。

設A是非空集,F是域。在集A上定義有加法+和乘法·兩個運算，在F和A之間定義有數乘運算，即對於任意α∈F,α∈A有αα∈A,且滿足以下條件:①A關於加法+和乘法·作成結合環;②A關於加法+及數乘運算構成域F上的向量空間；③對任意α∈F，α、b∈A有α(αb)=(αα)b=α(αb)，這種代數系統記作｛A,+,·,數乘｝並稱為域F 上結合代數，簡稱F上代數A或代數A。域F上向量空間A的維數也稱為F上代數A的維數。

環的加法群是一個交換群，而代數的加法群是域F上的向量空間，後者較前者的結構要簡單得多。例如，向量空間A必有基｛αi，i∈I｝，而任意α∈A可惟一表成。於是只要知道αi之間的乘法表:,便可以計算A中任二元素,的乘積稱為代數A的構造常數。反之，通過規定向量空間A的一組基元之間的乘法，可線性擴張成A中的一個乘法。人們常利用這種方便定義新代數。

與環相類似，結合代數也有子代數、理想、同態、直積等概念。

例如，代數A的理想B，即指B是向量空間A的子空間，又是環A的理想。與除環和單環相應的概念，是可除代數和單代數等。

仿照由實數來構造複數的方法，可用複數來構造新的數。設Q是一切複數對(α,b)的集合，規定(α,b)=(с,d)當且僅當 α=с,b=d，並定義如下的運算：婔，廀是複數с，d的共軛數,α是實數。直接驗證可知,Q是實數域R上的一個四維結合代數，除了乘法交換律之外，Q的運算具有通常的數運算的所有性質。這是第一個非交換可除代數的例子。

如令，

，

則它們組成R上代數Q的一個基，而Q關於此基的乘法表是：1是單位元;。這就是著名的四元數代數。

由於推廣數系而得出四元數代數，隨之產生出實數域與複數域上的結合代數的概念，最初曾稱之為：“超複數系”。實數域上有限維可除代數有三個而且只能有此三個：實數域、複數域、四元數代數。這就是著名的弗羅貝尼烏斯定理。而韋德伯恩定理則刻畫了關於有限域的情形：有限域上有限維可除代數只能是有限域。

域K上一切n×n矩陣的集合Kn關於矩陣的加法、乘法和數乘運算，作成一個n2維結合代數，而且是單代數。用域F上m維可除代數D去代替域K，就得到D上一切n×n矩陣組成的F上mn2維結合代數Dn。Dn也是單代數。

關於有限維結合代數的韋德伯恩理論，對代數的研究有深遠的影響。這一理論的主要內容是：①任意有限維結合代數A含有一個極大的冪零理想N(所謂N是冪零的，意指存在一個自然數n，使N中任意n個元素之積都是零)，它包含A的一切冪零理想，N稱為A的冪零根，而商代數A/N的冪零根為零，冪零根為零的代數，稱為半單代數；②半單代數是有限個單代數的直和;③F上單代數必具有形式Dn,其中D是F上可除代數，且D和n是惟一的；④任意代數A=N+S（向量空間的直和），其中N是A的冪零根，S是A的半單代數。

Α.И.馬爾采夫證明了④中的子代數S在不計內自同構的意義下是惟一的。根據上述韋德伯恩定理，有限維代數的研究，基本上可歸結為對冪零代數與可除代數的研究。實際上這是研究代數的一個模式：對代數引入根的概念，從而可將對任意代數的研究化歸為對兩類特殊代數的研究。結合環的阿廷理論和雅各布森理論，以及關於非結合代數和環的一些研究都是按照這一模式進行的。

F上單代數A有單位元1，因此可認定F=F·1吇A。若A的中心(即與A中任意元素都是乘法可換的元素的全體)恰是F，則A稱為F上中心單代數。Fn是F上中心單代數。

張量積在研究單代數時起著重要作用。設A、B是F有單位元的代數。取A在F上的一個基：,且;取B在F上的一個基:,且。以符號集為基可作F上一個向量空間，記作A圱B。規定A圱B的一個乘法：,則得F上一個結合代數A圱B，稱之為F上代數A和B的張量積。可以證明，代數A圱B與A和B之基的選擇無關。兩個F上中心單代數的張量積仍是F上中心單代數。利用張量積可以定義張量代數，或者外代數、格拉斯曼代數（見多重線性代數）。

令G表示F上有限維中心單代數的全體。在集合G中引入關係～：A～B當且僅當存在m、n∈Z +使得。容易證明，這是一個等價關係。令凴表示A所在的等價類，。在集合強中規定一個乘法：。可以證明，這個乘法定義是合理的，即與等價類凴的代表選擇無關，並且強關於此乘法作成一個群。稱群{強,·}為域F上的布饒爾群，記作B(F)。B(F)的結構反映了中心單代數間的張量積的性質。可以證明B(F)是交換周期群。

若A是F上n2維中心單代數，且含有一個子域K,而K是F上n次正規擴域，則A稱為一個交叉積。若K是域F上的循環擴域，則交叉積A特稱為循環代數。交叉積有比較簡單的乘法表，然而它有很好的代表性：B(F)中任一元素(即等價類凴中)必含有一個交叉積。

布饒爾-哈塞-諾特－阿爾貝特理論是有限維結合代數中特別重要而完美的理論。它闡明了有理數域上的每一個單代數（尤其可除代數）都是其中心F上的循環代數，也就是說，有理數域的有限擴域F上的中心單代數都是循環代數。近年來，S.阿米策等人討論了不是交叉積的可除代數。

所謂有限維結合代數的表示，是指代數到域F上矩陣代數Fn內的同態映射。有限維結合代數的表示理論與有限群表示論之間有密切的聯繫。設G是一有限群，其元素為g1,g2,…,gn，F是一域，作一個以g1,g2,…,gn為基元的n維向量空間，於是便得到F上一個結合代數，稱之為群代數，並記作F【G】。由結合代數F【G】的一個表示可得群G的一個表示。反之亦然。若域F的特徵不能整除群G的元素個數│G│,則F【G】是半單代數。這就是馬施克定理。由前述的韋德伯恩定理可進而得出半單代數的較為完整的表示理論，它可用來刻畫有限群的常表示。若為域F的特徵能整除│G│的情況，即有限群的模表示，則要求發展F上非半單代數的表示。弗羅貝尼烏斯代數、擬弗羅貝尼烏斯代數、單列代數以及它們的推廣，是首先研究的非半單代數類，在研究中廣泛使用了同調代數工具。近年來，代數的表示論在M.奧斯蘭德、P.加布里埃爾、A.V.羅伊特等人手中有很大發展，是很活躍的一個代數分支。

1933年中山正、松島與三證明了局部域上單代數的換位子群等於換 1元素群。王湘浩在1950年證明了上述二群在代數數域情形下仍相等，而且在一般域的情形下當指數無平方因子時也相等。這裡首先提出的在最一般的情形下的問題，這在以後興起的代數K理論和代數群理論中是很重要的。