數值模擬法

下面簡單介紹這兩種方法的特點。

1.差分法 差分法是把原來求解物體內隨空間、時間連續分佈的溫度問題，轉化為求在時間領域和空間領域內有限個離散點的溫度值問題，再用這些離散點上的溫度值去逼近連續的溫度分佈。差分法的解題基礎是用差商來代替微商，.這樣就將熱傳導微分方程轉換為以節點溫度為未知量的線性代數方程組，得到各節點的數值解。用不同方法定義差商可得到不同的差分格式：向前差分、向後差分、平均差分、中心差分、加列金格式等。不同的差分格式其誤差和穩定性各不相同。如向前差分計算過程簡便，然而是有條件穩定的；向後差分則是無條件穩定的；而平均差分雖然精度較高但容易發生振蕩等。因此，使用差分法時要選擇合理的差分格式、合理的網格劃分和計算步長，以儘可能減少誤差，保證解的精度和穩定性。差分法的長處是對於具有規則的工件外形和均質材料的溫度場求解，它的程序設計和計算過程比較簡單，收斂性也較好。 2.有限元法 有限元法是根據變分原理來求解熱傳導問題微分方程的一種數值計算方法。有限元法的解題步驟是先將連續求解域分割為有限個單元組成的離散化模型，再用變分原理將各單元內的熱傳導方程轉化為等價的線性方程組，最後求解全域內的總體合成矩陣。由於有限元法的單元形狀可以比較任意，因此更能適合於具有複雜形狀的物體。對於由幾種不同材料組成的物體，可以利用不同材料的界面進行單元分割。特別是可以根據實際問題需要設置單元和節點分佈的稀疏，這樣就可以在不增加節點和計算量的前提下提高計算精度。此外，由於有限元法是用統一的方法對區域內節點和邊界節點列出計算格式，因此適用於任意的邊界條件，且在計算精度上比較協調。

有限元法是隨著計算機技術發展起來的一種新穎、有效的數值計算方法，它不僅可以用於傳熱分析，而且用於電磁場、流體力學、結構力學等所有連續介質和場的問題的分析採用有限元法計算溫度場時便於與後續相關計算統一計算方法，如鑄造殘餘應力分析，凝固裂紋傾向與凝固組織分析等。 20世紀80年代以來，基於有限元法的計算機數值模擬技術在世界各國先後得到飛猛進的發展，陸續研究出用於解決各種工程問題的多種有限元分析商業軟體，包括：用於液態金屬凝固過程的溫度場、應力應變場的數值模擬；凝固組織、凝固缺陷分析與性能預測等。總的來說，差分法和有限元法已成為解決溫度場計算問題的兩種主要計算方法，它們各有所長。在實際計算過程中，經常將這兩種方法結合起來進行計算，例如在空間域採用有限元法進行離散，時間域採用差分法進行離散。