二面體群

二面體群(dihedral group)是一種具體的群。保持平面上正邊形R不變的線性變換所成的群。它由保持R不變的n個旋轉和n個反射所組成。通常記為。是階的非交換群。從生成的角度來定義，二面體群是由兩個不同的特殊元所生成的群，即它有如下的定義關係：

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，;

(2)結合律，即;

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素，使得，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

線性代數的重要概念之一。設σ是數域P上的線性空間V的一個變換。若對於V中的任意向量α，β與P中的任意數k，有，則稱σ是V的一個線性變換。設σ是線性空間V的一個變換，若對於V中任意向量α，有，則σ是V的線性變換，稱為恆等變換，亦稱單位變換，記為I.若V的變換σ對於V中的任意向量α，有，則σ是V的線性變換，稱為零變換，記為0.線性變換是歐氏幾何中的變換、解析幾何中的某些坐標變換、數學分析中的某些變數代換以及其他數學分支中某些類似的變換的抽象、概括與推廣。數域上線性空間的線性變換可以推廣為同一個域上的兩個不同線性空間的線性映射。線性變換不僅是線性代數的主要研究對象之一，也是數學中的一個重要的概念。近代數學中的許多分支的研究對象，如泛函分析中的線性運算元。同調代數中的模同態等都與線性變換有密切的聯繫。

如果對於線性空間V中任意的元素和數，都有

那麼我們把變換A叫做線性變換。或代表元素α在變換A下的映象。

性質1：二面體群是非可換p群。

我們知道，群與關於四個文字對稱群的子群同構，後者是非可換群，故性質1成立。

性質2：二面體群與其自同構群同構。

我們可以直接驗證，二面體群可以由兩個生成元分別記做和，且滿足關係：生成的，式中1表示四個文字的恆等置換。

綜合以上所述。二面體群共有十個子群，兩個平凡子群，八個真子群。這些真子群就同構意義而言，五個二階子群同構，僅表示一個同構子群，兩個四階子群與同構，代表另一個子群，再添上一個四階循環子群C，總共三個非同構子群。如從置換群的可遷性來說，雖說與是同構子群，但它們的可遷性不同，子群N,是非可遷的，而子群NZ是可遷的。於是有兩個真子群和C可遷的，其餘六個子群不可遷的。

我們感興趣的是對的真子群進行分類。近世代數教科書已指出和Z都是正規子群且z是的中心，還是換位子群。

點群是由旋轉、反演、反映、象轉、鏡轉等點對稱操作構成的對稱群。這些點對稱操作所憑藉的對稱要素交於一點，在進行對稱操作時至少保持有一點不動，故稱為點群。

在晶體中，由於晶體對稱定律的限制，只能有1、2、3、4、6五種旋轉軸，並且各對稱要素的組合必須服從對稱要素組合定律，因此，晶體中的點群個數是有限的，共32種，稱為32晶體學點群，或簡稱為32點群。這32種晶體學點群是：

群- , 共5種.

群一一由加上與其垂直的反映面構成, 有共5種.此處下標h是英文“水平的”一詞的詞頭.

群一一由加上與其平行的反映面構成, 此處下標 是英文“豎直的”一詞的詞頭.新的群有 四種，而

群一一新的群有 S_{2}, S_{4}, S_{6} 三種， 而 .

群一一由 加上與其垂直的構成， 此處D是英文“二面體的”一詞的詞頭.新的群有 四種， 而 .

群一一由 加上與主軸 垂直的 構成.新的群有四種，而 .

群一一由 加上平分每兩個相鄰軸交角的反映面構成. 此處下標 是英文“對角的”一詞的詞頭. 新的群有 兩種.

T群―正四面體所具有的對稱群，有三種，稱為四面體群，此處T是英文“四面體”一詞的詞頭.

O群―正八面體所具有的對稱群，有兩種，稱為八面體群.此處O是英文“面體”一詞的詞頭.

以上總共32種。其中, 和 具有單一的軸，稱為單軸群；稱為二面體群。T群和O群的共同特點是具有四個互相交成 "角的 軸, 它們都屬於立方晶系，所以合稱立方群。

全部由正常旋轉操作構成的點群，稱為正常點群；否則稱為非正常點群。

具有相同點群對稱性的晶體，屬於同一個晶類。於是，所有晶體可劃分為32種晶類。