數學變換方法

數學變換方法是更格策略反映到數學思維中的一種方法。指在研究和解決數學課題時，採取迂迴的手段達到目的的一種方法，也就是把要解決的問題先進行信息變換，使之轉化為便於處理的形式。具體地講，將複雜的問題通過變換轉化成簡單的問題；將難的問題通過變換轉化成容易的問題；將未解決的問題通過變換轉化成已解決或較易解決的問題。它是解決數學問題中常用的最基本的方法之一變換的形式有：傳遞形式的變換、符號表達方式的變換、空間關係的變換等。

首先，數學方法為物理學提供了量化研究的工具。例如伽利略在進行實驗研究時，就用了數學定量分析方法去整理歸納從實驗獲得的感性材料，把實驗方法和數學方法緊密地結合起來；德國天文學家開普勒運用數學方法研究天體力學理論，成功地運用數學公式來表達關於行星運動的三大定律；麥克斯韋通過數學類比及推理，用一組偏微分方程系統地描述了電磁運動的基本規律，把光學、電學和磁學結合在一起了，他採用了矢量分析這樣的數學方法，把靜電場推廣到一般電磁場。

其次，數學方法導致物理新規律的發現和新理論的建立。例如麥克斯韋在用數學方法推導出電磁場方程組的基礎上預言了電磁波的存要；愛因斯坦在用數學方法推導出質能關係的基礎上預言可以研製原子彈和氫彈。

在研究某些複雜的物理問題時，有時可把複雜的問題轉化成簡單的問題，也即是採用迂迴手段來達到目的的數學方法稱為數學變換方法。常用的數學變換方法有平均值法、微元分析法和非線性的線性化方法等。

（1）平均值法

所謂平均值法就是把變化因素導致的複雜過程簡化為常量因素的簡單過程的方法。如在統計物理學中，為了在描述微觀粒子的運動規律中獲得宏觀量如溫度、壓強、體積、內能和熵等而採用統計平均的方法。又如碰撞過程研究也是應用平均值方法估算衝力的平均值的，因為衝力是個變力，它隨時間而變化的關係比較難確定，所以只能估算衝力的平均值。再如，在量子力學中，波函數是描述具有波粒二象性的微觀客體量子狀態的函數，知道了某微觀客體的波函數后，微觀客體的運動狀態就可用波函數來描述了。

（2）微元分析法

如果研究的對象連續分佈，例如分佈於一定空間內的彈性體（如細桿、細弦、膜等）或流體（一定量的液體或氣體），有一定空間分佈的能量場（如電場、磁場、流體速度場、物質濃度場、溫度場等）。由於連續體處於不同空間的部分，其運動狀況不同，所以我們可應用微元分析法選取無窮多個不同空間位置的質點作為研究對象。

對於連續體，建立運動方程時要採用微元分析法。微元分析法將系統中所有微元分為非邊界微元和邊界微元兩部分，我們要研究的是：

1）系統中任一非邊界位置處的微元（例如空間的線元、面元、體積元、點電荷元或質量元等）在某時刻的運動。

2）邊界面上所有微元在任意時刻的運動（邊界條件）及初始時刻系統所有微元的運動（初始條件）。

（3）非線性的線性化方法

物質世界里反映物理量間的關係主要是非線性關係，在物理學理論及實驗中可引入非線性物理系統的線性研究方法，即對有非線性關係的一對物理量，可在理論上或實驗中限制其中一個物理量在一個宏觀小的範圍內變化，則兩個物理量的關係可近似為線性關係，通過數學或其他手段確定出兩個量間的比例係數后就可確定這一對物理量在給定範圍內的線性關係。

例如三極體的輸入特性和輸出特性都是非線性的，因此對放大電路進行定量分析時，主要矛盾是解決三極體的非線性問題。常用微變等效電路法來解決此問題，其實質是在靜態工作點附近一個比較小的變化範圍內，近似地認為三極體的特性是線性的，由此導出三極體的等效電路以及一系列的微變等效參數，從而將非線性問題轉換為線性問題，這樣便可以對三極體電路進行求解。

總之，數學是表述和論證物理概念和物理規律的最簡練、最系統的語言，也是研究物理學不可缺少的工具，數學方法已成為人們探索物理世界秘密的“金鑰匙”。

數學變換是當代科學發展中各個領域不可缺少的方法，它為問題的解決提出了一個嶄新的方面。在地震勘探領域，數學變換方法也同樣扮演著重要的角色，從地震勘探數學模型的求解、偏移方法的改進、信號的分離到地震數據濾波及提高地震數據的信噪比到地震數據壓縮等方面都有著廣泛的應用。

數學變換的應用潛力不斷引起地球物理學家的關注，新的數學變換不斷被應用於地震勘探領域，它有著廣闊的理論研究和應用前景。研究以現今地震勘探領域常用的數學變換為主，綜述了相關的理論以及主要的應用領域，作為進一步研究的預備和基礎。

（1）基本形式及意義

傅立葉變換是在傅立葉級數的基礎上發展起來的，傅立葉級數則是Fourier在1807年求解熱傳導方程時提出的，經過近200年的發展，傅立葉變換已經在各學科領域得到了廣泛應用。

時間域的信號經過傅立葉變換到頻率域可以得到分解后各頻率諧波成分的振幅與初相位，再對頻率域各成分進行相應的改造就可以修改原始信號的性質。地震勘探中的頻率濾波技術就是根據傅立葉變換定義進行的處理手段之一。但是其主要缺點是：一個函數要想做傅立葉變換除了滿足狄利克雷條件以外，還要在內滿足絕對可積的條件，其次函數還必須在整個數軸上有定義，這對於許多物理可實現的函數來說是不滿足要求的。

（2）傅立葉變換的應用

傅立葉變換有許多形式，如連續信號的傅立葉變換、離散信號的傅立葉變換、無限長度信號的傅立葉變換、有限長度信號的傅立葉變換。它們只是在形式上有所差別，其實質是一致的。地震勘探中經常使用的是有限長度的離散傅立葉變換，在實際計算時一般採用快速傅立葉變換(FFT)技術，以大幅度提高計算效率。

頻域濾波是一種以傅立葉變換為基礎的過濾信號的方法。根據傅立葉變換理論，時間域信號可以用它的頻譜來表示，二者是完全等價的。如果頻譜上某一個範圍內的成分對應於時間域記錄中的某種非期望成分，那麼在頻率域中將這個範圍之內的能量“拿掉”，然後再將其結果反變換回到時間域中，生成一個新的時間域信號，這個運算過程就等效於在時間域中消除掉了這個非期望的成分。這就是頻率濾波的數學基礎。如圖1(a)為原始地震記錄，(b)為應用頻域帶通濾波去除面波后的結果。

以上介紹的是對一維信號的濾波方法，它主要利用的是信號和雜訊的頻譜差異來對記錄中的雜訊進行壓制，因此它們是一維信號的頻率濾波方法。在地震處理中主要用於單道運算。在地震處理中還廣泛應用二維濾波技術，主要應用於地震道集上相干雜訊的壓制。二維濾波是一維濾波的推廣，它是以二維傅立葉變換為基礎的。隨著數學理論的發展，更多的傅立葉方法不斷應用到地震勘探中，如多重傅立葉變換及分數傅立葉變換。但不論其如何發展，都是以最簡單的傅立葉變換為基礎，只要掌握傅立葉變換的基礎理論，便可以進一步應用更多形式的傅立葉變換方法。

一個函數當其除了滿足狄氏條件外，還要在內滿足絕對可積的條件，其次函數還必須在整個數軸上有定義，這對於許多物理可實現的函數來說是不滿足要求的。由此可見，傅立葉變換應用範圍受到相當大的限制。由於拉普拉斯變換沒有如頻譜一樣的明確的物理意義，因此它在地震勘探中的應用並沒有傅立葉變化那麼廣泛。但是它有現成的變換表可查，且對於微分方程的求解比較簡單，所以這種變換方法常用在地震勘探問題的數學模型求解中，例如應用拉普拉斯變換求解地震反射係數方程。

在地震資料處理中，傅里葉變換分析了信號能量在各個頻率成分中的分佈情況，但是其頻譜是在整個時間(或空間)軸上的積分，因而信號中的突變信息被丟掉了。顯而易見，由傅里葉變換難以確定突變點在時間(或空間)域內的位置。

加窗傅氏變換的主要優點在於，通過窗中心的平移，實現對信號的局部化分析。但由於窗函數具有不變性，因而窗口的大小和形狀亦是不變的，即在某一相平面的任何位置上，加窗傅氏變換的解析度都相同。因此，使人們無法根據信號的變化情況調整解析度；另外，由於測不準原則的限制，解析度單元的面積不可能無限小。因此，加窗傅氏變換的解析度無法在空間域或時間域達到最佳。我們再回到窗函數本身來討論。當窗很大時，解析度高；而當窗很小時，解析度降低，且有嚴重的吉卜斯現象。

由上述可知，要提高解析度，降低截斷效應，就要有足夠的窗口寬度來保證，但在實際問題中往往不可能滿足。這樣，就提出了一個問題，有沒有辦法使窗口寬度足夠小，而又使解析度足夠高呢?為此，提出小波變換。

小波變換表現為一系列的褶積運算，對信號進行小波分解，實質上就是對信號用不同的濾波器進行濾波，這些濾波器的脈衝響應就是一系列的小波基，對應不同尺度因子s小波基將信號分解到相應的頻帶，顯然，尺度因子越小，對應頻帶的中心頻率就越高。