代數數

數學術語代數數

英語：algebraic number

注意：該內容涉及高等數學知識。

滿足形如的某整係數代數方程的複數。其中首項（最高次項）係數為1的整係數代數方程的根則叫做“代數整數”。例如是一個實代數數，它滿足方程。再如全體有理數及3、等都是代數數。每個有理數（m，n為整數，n≠0）都是代數數，因為它滿足方程 。可見代數數集包含了有理數集。然而，代數數集並不包含全部實數。代數數集是一個可數集，即所有代數數能與全體自然數建立一一對應，而實數集是不可數的無窮集，因此，一定存在不是代數數的實數。現已證明 π和e這些無理數不是代數數。不是代數數的數稱為超越數。由此可見，就實數集而言，實數既可按有理數和無理數分為兩類，又可按實代數數和實超越數分為兩類。實代數數集是有理數集的自然擴充。

代數數在有理數下的“+”、“-”、“x”、“÷”運算中是封閉的，因此構成一個域，稱為代數數域。

注意：代數數在平方和開方的運算中不是封閉的，例如，即2的根號2次方不是代數數，它是一個超越數。

以代數數作為係數的有限次多項式的根也是代數數。

當a為一個非零代數數時，都是超越數。當a為一個大於0且不等於1的代數數時，ln a是超越數。