現代數學基礎

內容簡介

本書是一本入門性的現代數學教材，簡要介紹與科學技術密切相關的一些重要現代數學分支的基本概念、方法和應用，為進一步深入學習和應用現代數學知識打下基礎。它主要包括近世代數與拓撲、非線性泛函分析、微分流形及其應用、偏微分方程的現代理論和小波分析等五個方面的內容。

本書取材廣泛，深入淺出，實用性強，可作為理工科大學研究生（尤其是工科博士生）的現代數學教材，也可供高年級大學生、教師及科學技術人員自學和參考。

目錄

第一章 近世代數與拓撲

1.1代數基本概念

1.1.1邏輯與集合

1.1.2映射、積與關係

1.1.3超窮數、勢

1.1.4代數運算、同態與同構

1.2群

1.2.1半群、群、子群與同態

1.2.2變換群、置換群、循環群

1.2.3陪集、不變子群與商群

1.2.4對稱群、交錯群、正多邊形群

1.3環、域與代數

1.3.1環、子環、除環與域

1.3.2理想、同態、剩餘類環

1.3.3交換環、代數、張量積

1.4橫與範疇

1.4.1模、同態與正合序列

1.4.2自由模與向量空間

1.4.3範疇與態射

1.4.4函子

1.5拓撲空間

1.5.1拓撲空間、拓撲基

1.5.2連續映射與同胚

1.5.3子空間、積空間

1.6拓撲空間基本性質

1.6.1拓撲空間的連通性

1.6.2拓撲空間的分離性公理

1.6.3拓撲空間的緊緻性

習題

參考文獻

第二章 非線性泛函分析初步

2.1非線性運算元

2.1.1連續性、有界性和全連續性

2.1.2微分

2.1.3積分

2.1.4高階微分

2.1.5隱函數定理

2.1.6反函數定理

2.2拓撲度理論

2.2.1布勞威爾度

2.2.2列雷紹德爾度

2.2.3不動點定理

2.3泛函微分方程

2.3.1基本理論

2.3.2周期解

2.3.3穩定性

習題

參考文獻

第三章 微分流形及其應用

3.1微分流形與可微映射

3.1.1微分流形

3.1.2可微映射

3.1.3切向量和切空間

3.1.4映射的微分、餘切空間

3.1.5黎曼流形

3.2微分形式

3.2.1格拉斯曼代數

3.2.2微分形式

3.2.3外微分

3.2.4龐卡萊引理及逆命題

3.2.5對偶映射

3.3流形上的積分

3.3.1體形式與可定向流形

3.3.2流形上的積分

3.3.3斯托克斯定理

3.4臨界點理論概述

3.4.1臨界點、薩特定理

3.4.2莫爾斯理論

3.4.3橫截性理論

習題

參考文獻

第四章 偏微分方程的現代理論

4.1廣義函數論

4.1.1廣義函數空間

4.1.2廣義函數的卷積與傅里葉變換理論

4.1.3線性偏微分方程的基本解

4.2索伯列夫空間論

4.2.1索伯列夫空間

4.2.2嵌入定理

4.3二階線性橢圓型方程

4.3.1二階線性橢圓型方程的狄利克萊問題

4.3.2廣義解及其正則性

4.4半群理論及其應用

4.4.1C0半群理論

4.4.2發展方程的初值問題

習題

參考文獻

第五章 小波分析及應用

5.1從頻率分析到尺度分析

5.1.1時頻局部化與窗口傅里葉變換

5.1.2連續小波變換

5.1.3奇異信號在小波變換下的特徵

5.2正交小波

5.2.1多尺度分析與正交小波基

5.2.2快速小波演演算法

5.2.3小波與函數空間

5.2.4向量小波基

5.3雙正交小波基

5.4小波包與最優演演算法

5.4.1小波包與演演算法

5.4.2信息花費函數與最優基選擇

5.4.3快速近似主因子分析

5.4.4局部正（余）弦基

5.5小波與快速數值演演算法

習題

參考文獻

附：中英文名詞索引