L-函數

一般地，對於數學對象，我們可定義複數列，形如

且具有Euler乘積的Dirichlet級數，我們稱其為關於的函數。

一般地說，-函數來源由兩類組成：算術L-函數和自守L-函數。這兩者又是密切聯繫在一起的，根據羅伯特·朗蘭茲的猜想，籠統地說，一切有意義的L-函數都來自自守L-函數。

算術L-函數

簡單地說，

同樣地，狄利克雷在研究算術級數中的素數分佈時，引入了Dirichlet L-函數：

Dedekind zeta-函數：設為一代數數域，

橢圓曲線的Haass-Weil L-函數：設為一非奇異的橢圓曲線定義為曲線在有限域上的解，設，則下面的級數稱為關於曲線的Haass-Weil L-函數

阿廷L-函數：設是一個有限維的伽羅瓦表示，其中為一代數數域，

自守L-函數

全純模形式的L-函數，Maass L-函數，標準L-函數等等。

根據羅伯特·朗蘭茲在國際數學家大會上的報告所指，研究一個L-函數主要有三部分內容：

L-函數的解析延拓和函數方程這是最基本的一部分。對於一般的自守L-函數這是較容易得到的，但是對算術的L-函數這一部分並不是容易得到的。例如，對於Haass-Weil L-函數，這部分就是谷山-志村猜想，該猜想一部分就能推出費爾馬大定理。關於阿廷L-函數的全純解析沿拓的阿廷猜想也是數論中重要的未知問題。

對於數學對象的L-函數，我們定義其的gamma因子為

其中為復參數。

定義下面關於的完全-函數

那麼，一般地我們有函數方程

其中為模為1的複數，為關於的對偶對象。

非零區域：如黎曼zeta函數的目前最好的非零區域為

黎曼猜想和廣義黎曼猜想問題：

在假設黎曼猜想下，零點虛部的分佈問題與隨機矩陣的聯繫等等。

中心值，臨界點，整點的值，極點的留數等。這裡面也有很多猜想，像BSD猜想，類數問題，Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想。其實往往我們重要的不僅是關心它具體有多大，而是關心的這個量裡面隱含著什麼樣的算術意義。像Dedekind zeta 函數在處的留數，裡面包含了一個數域的很多不變數：類數，判別式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函數在中心點的的階就是該橢圓曲線的秩！

對於一個研究對象如素數，伽羅瓦擴張，橢圓曲線，代數簇等等，我們可根據其性質構造出一個復變數的L-函數。 -函數的解析性質：零點和極點，函數方程，展開係數，特殊點的值等等，往往能夠充分反映的算術，幾何，或代數性質。

關於L-函數的研究，有許多未解決的公開問題，在這些問題中，尤以下面三個著名。

廣義Riemann猜想

L-函數所有非平凡的零點均位於線上。

廣義Lindelof猜想

在(3.1)的函數方程中，有猜想：

其中為任意小的正實數。

廣義Ramanujan猜想

在(3.1)的函數方程中，猜想對非分歧的有和。