泛代數

在諸如矩陣群、置換群、變換群等具體的群概念基礎上，經過抽象概括而得出抽象群的概念；與此類似，可以在一般的群、環、布爾代數、模、格、半群等等概念之上再抽象，得出能概括它們的共性的更加一般的概念。這種方法和任務，早在1898年A.N.懷特海就已提出了，但是直到20世紀30年代末期在G.伯克霍夫的著名工作之後，泛代數才真正發展起來。

設A是一個非空集合,是自然數，所謂A的一個n元運算，是指（n個A的笛卡兒積）到A的一個映射ω，元素在映射ω下的像，就是 在n元運算ω下得到的結果。規定A的一個零元運算就是在A中標定一個元素。

集合 A和其上若干個（有限或無限個）運算組成的運算集Ω一起，統稱為一個代數系統或Ω代數（簡稱代數），記作。簡而言之，所謂代數系統，就是帶運算的集合。如果代數系統的運算集Ω與代數系統的運算集Ω┡之間有一個一一對應φ，且相對應的運算是相同元數的，那麼和稱為是同型的。常把同型代數的運算集Ω和Ω┡按對應φ等同起來。例如，群可看成具有一個二元運算（乘法）、一個一元運算（取逆元）和一個零元運算（單位元）的代數系統；有單位元的環可看成具有兩個二元運算（加法和乘法）、一個一元運算（取負元）和兩個零元運算（零元和單位元）的代數系統；布爾代數可看成具有兩個二元運算（交和並）、一個一元運算（取補元）和兩個零元運算（0和1）的代數系統。有單位元的環和布爾代數，就可視為同型代數。然而，域不能看成代數系統，因為域中對乘法取逆元不是對域中每一元都有意義，而只是域上的一個“部分運算”。

泛代數首先把群論、環論和格論中一些共有的概念和平行的結果，推廣到代數系統上來。例如，同構、同態、合同關係、子代數系統等基本概念，以及從已給的代數系統建立新的代數系統的各種構造方法：取子代數系統、取同態像、直積、亞直積、正向極限、反向極限、超濾積、自由代數等，它們和群論或環論中相應的概念十分類似。就其重要的介紹如下：

設和是兩個同型代數（已將它們的運算集等同起來），如果φ是集A到集A┡的一個映射，且對Ω中任意n 元運算ω 滿足條件(C)：凬,那麼φ 稱為代數到的一個同態。當ω是零元運算時，條件(C)是指A中ω 所標定的元素在φ下的像，恰是A┡中ω 所標定的元素。當φ為A和A┡間的一一映射時，則說φ是這兩個代數間的一個同構。

設θ是集合A的一個等價關係。所謂θ是代數的一個合同關係，意指對Ω中任意運算ω有：若,則。用的一個合同關係θ，很容易構造一個新的代數<凴,Ω>，其中凴是A中θ的等價類的集合，凴的運算ω∈Ω定義為。由於θ是合同關係，故此定義確給出凴的一個運算。顯然,和〈凴,Ω〉是同型代數，而A到凴上的對應是它們間的同態。

用正規子群（或理想）可以刻畫群（或環）的合同關係，但是這對Ω代數已不可能了，例如半群的合同關係已不能用子半群去刻畫。然而，對於泛代數仍有和群論類似的關於同態的基本定理以及第一、第二同構定理。

和群（環）論類似，在泛代數中也討論代數的子代數格、合同關係格、代數的自同構群等問題。

任取非空集M 和集。每一ωλ 對應一個非負整數nλ,並把ωλ稱為nλ元運算符號。的ωλ的全體，記作Ω0。令,用歸納法定義階為非負整數n的字，規定N 中元素是階為0的字。設階為的字已定義，規定階為n的字是一切形如()的符號，其中是k元運算符號,,而αi是階為mi的字，且令F表示所有字組成的集合，並在F中規定nλ元運算為於是就得到一個Ω代數，並稱之為自由Ω代數，特記作F(Ω,M )。它具有自由群所具有的那種泛性質(見無限群)。特別，任一Ω代數總可以看作某個自由Ω代數的同態像。

本原類是泛代數中的一個重要概念，可以用自由代數來定義。取自由代數，其中可數集。取字對 所謂與F同型的代數滿足恆等式,是指對F 到的任意同態φ都有這等於說用Ω代數A中任意元素αi去代替字w1、w2中的xi后所得到的A中元素彼此相等。取 它是F中字對的集合。滿足所有恆等式的Ω代數的全體，稱為一個本原代數類。例如，群的全體，結合環的全體，域K上李代數的全體，格的全體等都是本原代數類。可以證明，每一本原類都有“自己的自由代數”，它在這個本原類中具有自由群在群類中所具有的那種泛性質。

泛代數的一個特有結果是重要的伯克霍夫定理：一個Ω代數類W是一個本原類，當且僅當W 中任意代數的子代數、同態像以及它們的直積也都在W 中。它是泛代數作為獨立分支發展的起點。在泛代數中還討論在給定的本原類中判定兩個字是否相等的所謂字的問題，本原類中自由代數的基的問題等。

泛代數一詞，通常包含Ω代數與結構這兩方面的內容，它們之間有其相通之處，然而，就其研究方法和所討論的問題來說，是有很大區別的。Ω代數是其上定義一些n元運算的集合，用通常的代數方法去研究，就組成了上述的“狹義”泛代數的內容。結構是其上定義有一些n元關係（其特例是n元運算）的集合，用數理邏輯方法（使用一階謂詞演算的語言）去研究，就組成了模型論的內容。泛代數的方法在自動機理論和程序語言的語義學中已有應用。

P.M.Cohn,Universal Algebra, Harper and Row，NewYork，1965.

G.Grtzer, Universal Algebra,2nd ed.,Springer-Verlag，New York，1979.