紐結理論

繩結是人人熟悉的，史前時期就有結繩記事。試一試就會相信，圖1中的兩個結不一樣：沒法把一個變形成另一個，除非把繩頭抽回重穿。繩子的粗細、長短、曲直允許改變，單單不許繩頭重穿。

由於這條規矩不易精確描述，那麼索性規定繩的兩端要捻合起來（於是剛才的兩個結要改畫成圖2）。這樣就可以得到了數學上的定義：紐結是三維空間中的不與自己相交的封閉曲線，或者說，三維空間中的與圓周同胚的圖形。兩個紐結等價是指存在三維空間本身的一個變形，把一個變成另一個。與平面上的圓周等價的紐結稱為平凡紐結（因為把未打結的繩子兩頭捻合得到的圈可以放在平面上）。同時這也是繩結魔術的數學道理。

如果不是考慮一條閉曲線，而是同時考慮h條閉曲線，要求它們既不自交也不互交，那麼就得到h圈鏈環的概念。等價性的定義也與紐結的相仿。圖3中是兩個非平凡的（即不等價於互相分離的圓周的）雙圈鏈環，它們彼此也不等價。

紐結理論的基本問題是：怎樣區分不等價的紐結(或鏈環)？它是三維拓撲學的一部分,

因為曲線打結與鏈鎖是三維空間所特有的現象（平面上、四維以上的空間里曲線都不會打結），而且它所研究的是閉曲線在三維空間中安放方式的差異，並不是閉曲線本身（它們都與圓周同胚，因而彼此都同胚）。

每個紐結，選取適當的投影方向，總可以使它在平面上的投影的自交點都只是二重交叉點；以線的虛實表現交叉的情況，就得到紐結的投影圖。紐結的等價類被它的投影圖所完全確定，但是等價的紐結可以有不同的投影圖。圖4的兩個紐結是分別與圖2的兩個紐結等價的，它們通常稱為三葉結與8字結。

要證明兩個紐結等價，只須用繩各作一個模型然後把一個變形成另一個。然而如果你失敗了，並不足以證明這兩個紐結不等價，或許還有什麼訣竅能使它們互變呢！因此，要證明兩個紐結不等價，必須用不變數，即紐結的在變形下不改變的性質。

不變數之一是紐結的群，即從三維空間中挖去該紐結后所余的開集的基本群。它容易計算，有簡單的步驟從該紐結的投影圖來寫出它的母元和關係。然而它不易鑒別，因為用母元和關係寫出的兩個群，沒有普遍適用的辦法來鑒定它們是否同構。平凡紐結的特徵是，它的群是無限循環群。然而，群相同的紐結不一定等價。圖5中的兩個三葉結互為鏡像，因而有相同的群，但是它們不等價。圖6是兩個常用的結，也是群相同而不等價。眾所周知，左邊的結牢靠，有方結、外科結等名稱，而右邊的易散，被稱為懶散結。那是它們的物理性質，不是幾何性質。

在一條繩上先後打兩個結，其結果稱為兩個結的和（圖7）。很明顯，這加法滿足結合律,平凡結起著零的作用。交換律可以從圖8看出。全體紐結在加法運算下構成一個交換半群。就象每個正整數在乘法運算下有惟一的素因子分解一樣，每個非平凡的紐結可以分解成素紐結（即不能再分解的非平凡紐結，例如三葉結與8字結）的和，而且只有一個這樣的分解式。方結是三葉結與其鏡像之和，而懶散結則是兩個三葉結之和。

C.F.高斯在1833年研究電動力學時引進了閉曲線之間的環繞數，這是紐結理論的基本工具之一。1880年左右出現了最早的紐結表。紐結理論後來隨著代數拓撲學的發展而前進，也反過來刺激了代數拓撲學的發展。1910年M.W.德恩引進紐結的群的概念，1928年J.W.亞歷山大引進了紐結的多項式這個更易處理的不變數，都是重要的進步。紐結理論是拓撲學的一個引人入勝的領域，一方面因為它研究的是看得見摸得著的豐富多彩的幾何現象，有著許多問題等待人們去解決，另一方面也因為它相當奧妙，需要動用各種各樣的方法，成了諸如群論、矩陣論、數論、代數幾何、微分幾何等眾多學科與拓撲學交匯的地方。

目前，已經有了能夠判斷紐結的等價性的演演算法，可以造出一台機器，輸入任意兩個紐結的投影圖，它都能判定它們是否等價。然而這隻解決了理論上的可判定性，還不切實可行。在實際計算方面，已發明了一些新的多項式不變數，它們比亞歷山大多項式包含更多的信息。

由於紐結、鏈環與三維、四維流形的構造和分類有深刻的聯繫，與奇點理論也密切相關，也由於高維紐結（n維球面在維空間中安放方式）的研究的進展，紐結理論近年來引起更多人的興趣。它也被應用於化學中大分子的空間結構的研究，例如遺傳物質DNA的研究。

20世紀八十年代，jones發明了紐結多項式，為紐結理論的發展做出了進一步的推動。