高等代數解題方法

本書是學習高等代數和線性代數的輔導參考書，內容系統深入。在內容的組織上，以清華版《高等代數學各章為基準，內容有：系統的線性代數學，數與多項式理論，近世代數介紹，變換族(群)，正交幾何與辛幾何，Hilbert空間，張量積和外積等，共12章。每章包括：概念和定理介紹；解題方法思路的分析總結；《高等代數學》(第2版)中全部習題的詳細分析解答；補充題與解答。書中融入了作者在中國科學技術大學和清華大學的數學系和非數學系的長期教學經驗和科研心得。本書適用於各類高校學生學習和複習高等代數或線。

本書內容以我們編寫的《高等代數學》第2版的章為基準, 分為三大部分: 基礎內容(第1~6章), 深入內容(第7~9章), 選學內容(第10~12章). 各章內容基本分為4個板塊: (1)定義與定理; (2)解題方法介紹; (3)《高等代數學》(第2版)中習題與解答; (4)補充題與解答.

此次再版, 新增加的內容和習題, 有以下幾方面:

1. 增加了兩章, 即正交幾何與辛幾何(第10章), Hilbert空間(第11章). 這是《高等代數學》第2版新增的兩章. 分別是歐幾里得空間和酉空間的發展. 前者的基域可以是任意域(如二元域),內積可以是奇異的、交錯的. Hilbert空間即是無限維的完備的酉空間. 這些內容在數學和許多科學技術, 例如信息和編碼、量子物理等中都很重要. 連同張量積與外積(第12章), 此3章作為選讀參考，不在基礎課內講授. 這部分收入的習題, 有些也是信息編碼、物理應用(如 Minkowski 四維時空)的基礎。

2. 解答了《高等代數學》第2版增加的習題。

3. 新補充了一批習題及其解答, 除了普通習題, 還有一些問題是課堂內容的發展、延伸和補充. 介紹了一些不便於寫入教材的(因為篇幅限制或不在基礎課主線上等原因)，但又很有價值和趣味的內容.。這類補充題主要如下；第1章: 多項式方面, 關於正根個數的“笛卡兒符號判則”，關於實根個數的“施圖姆(Sturm)定理”, 根的範圍估計；方程的模素數冪解，即p\|adic數和Hensel提升的萌芽；形式冪級數的性質; 古希臘直尺圓規作圖問題, 立方倍積、三等分角不可能性的證明；多元多項式因式分解示例等。

第3章: 結式的次數, Bezout 定理(關於兩曲線交點個數)。

第4章: 矩陣的各類廣義逆與方程組的解.

第5章: 線性映射的分解.

第6章: 正合序列介紹.

第8章: 無限維空間中對偶和伴隨映射的關係; 二次型與多元二次多項式的分解.

第9章: 線性變換族(群表示和特徵)基礎; 對偶和伴隨變換的各種關係; 射影空間介紹; Frobenius 定理(即R 上有限維可除代數必為R,C,H之一).

第10章: 代數編碼基礎知識, Singleton界, Griesmer界等.

引言

第1版引言

第1章 數與多項式

1.1 定義與定理

1.2 解題方法介紹

1.3 習題與解答

1.4 補充題與解答

第2章 行列式

2.1 定義與定理

2.2 解題方法介紹

2.3 習題與解答

2.4 補充題與解答

第3章 線性方程組

3.1 定義與定理

3.2 解題方法介紹

3.3 習題與解答

3.4 補充題與解答

第4章 矩陣的運算與相抵

4.1 定義與定理

4.2 解題方法介紹

4.3 習題與解答

4.4 補充題與解答

第5章 線性（向量）空間

5.1 定義與定理

5.2 解題方法介紹

5.3 習題與解答

5.4 補充題與解答

第6章 線性變換

6.1 定義與定理

6.2 解題方法介紹

6.3 習題與解答

6.4 補充題與解答

第7章 方陣相似標準形與空間分解

7.1 定義與定理

7.2 解題方法介紹

7.3 習題與解答

7.4 補充題與解答

第8章 雙線性型、二次型與方陣相合

8.1 定義與定理

8.2 解題方法介紹

8.3 習題與解答

8.4 補充題與解答

第9章 歐幾里得空間與酉空間

9.1 定義與定理

9.2 解題方法介紹

9.3 習題與解答

9.4 補充題與解答

第lo章 正交幾何與辛幾何

10.1 定義與定理

10.2 習題與解答

10.3 補充題與解答

第ll章 hilbert空間

11.1 定義與定理

11.2 習題與解答

第12章 張量積與外積

12.1 定義與定理

12.2 習題與解答