微分幾何初步

《微分幾何初步》是北京大學數學系微分幾何課程的教材。主要講述三維歐氏空間中曲線和曲面的局部理 論，內容包括：預備知識，曲線論，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，曲面論基本定理，測地曲率和測地線，活動標架和外微分法。另有附錄敘述了《微分幾何初步》所用的微分方程的定理，並介紹了張量的概念。《微分幾何初步》力圖向近代微分幾何的語言和方法靠近，因此在講述時盡量結合現代流形的概念，並且自始至終使用附屬在曲線、曲面上的標架場，對外微分形式有相當詳細的介紹。《微分幾何初步》敘述深入淺出，條理清楚，論證嚴密，突出幾何想法，便於讀者理解與掌握。

《微分幾何初步》可作為綜合大學及高等師範院校的微分幾何課程教材，也可作為高等教育自學考試的教學參考書。

陳維桓，北京大學數學科學學院教授，博士生導師。1964年畢業於北京大學數學力學系，后師從吳光磊先生讀研究生。長期從事微分幾何方向的研究工作和教學工作，開設的課程有“微分幾何”、“微分流形”、“黎曼幾何引論”和“纖維叢的微分幾何”等。已出版的著作有：《微分幾何講義》(與陳省身合著)，《黎曼幾何選講》(與伍鴻熙合著)，《微分幾何初步》，《微分流形初步》，《極小曲面》，以及《黎曼幾何引論》(上、下)(與李興校合編著)等。

緒論

第一章預備知識

1標架

2向量函數

第二章曲線論

1參數曲線

2曲線的弧長

3曲線的曲率和Frenet標架

4撓率和Frenet公式

5曲線論基本定理

6曲線在一點的標準展開

7平面曲線

第三章 曲面的第一基本形式

1曲面的定義

2切平面和法線

3曲面的第一基本形式

4曲面上正交參數曲線網的存在性

5保長對應和保角對應

6可展曲面

第四章 曲面的第二基本形式

1第二基本形式

2法曲率

3 Gauss映射和Weingarten映射

4主方向和主曲率的計算

5 Dupin標形和曲面在一點的標準展開

6某些特殊曲面

第五章曲面論基本定理

1 自然標架的運動公式

2曲面的唯一性定理

3曲面論基本方程

4曲面的存在性定理

5 Gauss定理

第六章測地曲率和測地線

1測地曲率和測地撓率

2測地線

3測地坐標系

4常曲率曲面

5曲面上切向量的平行移動

6 Gauss—Bonnet公式

第七章活動標架和外微分法

1外形式

2外微分

3 E3中的標架族

4曲面上的標架場

5曲面上的曲線

附 錄

1關於常微分方程的幾個定理

2一階偏微分方程組的可積性

3張量

索 引